2016年普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | x 2 < 9}则A ∩B =
A. {-2,-1,0,1,2,3}
B. {-2,-1,0,1,2}
C. {1,2,3}
D. {1,2}
2. 设复数z 满足z + i = 3 - i ，则=z
A. -1 + 2i
B. 1 - 2i
C. 3 + 2i
D. 3 - 2i
3. 函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则
A. )6
2sin(2π
-=x y
B. )3
2sin(2π
-=x y
C. )6
sin(2π
+=x y
D. )3
sin(2π
+
=x y
4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A. π12
B.
π3
32
C. π8
D. π4
5. 设F 为抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点，曲线)0(>=
k x
k
y 与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A.
2
1 B. 1
C. 2
3
D. 2
6. 圆x 2 + y 2 - 2x - 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y - 1 = 0的距离为1，则a =
A. 3
4- B. 4
3-
C.
3
D. 2
7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. π20
B. π24
C. π28
D. π32
8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若
一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
A.
107 B.
85 C. 8
3
D. 10
3
9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，
若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a 为2、2、5，则输出的s = A. 7 B. 12 C. 17 D. 34
2016.6
10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y = 10lg x 的定义域和值域相同的是
A. y = x
B. y = lg x
C. y = 2x
D. x
y 1=
11. 函数)2
cos(62cos )(x x x f -+=π
的最大值为
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12. 已知函数)2()())((x f x f x x f -=∈满足R ，若函数)(|32|2
x f y x x y =--=与图象的交点为(x 1,y 1)，
(x 2,y 2)，…，(x m ,y m )，则=∑=m
i i
x
1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a = (m ,4)，b = (3,-2)，且a // b ，则m =__________。

14. 若x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则z = x - 2y 的最小值为__________。

15. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若113
5cos 54cos ===
a C A ，，，则
b =___________。

16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我
与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我 的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 4，a 5 + a 7 = 6。

（I ）求{a n }的通项公式；
（II ）设b n = [a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[2.6] = 2。

18. （本小题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

求P (A )的估计值；
（II ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。

求P (B )的估计值； （III ）求续保人本年度平均保费的估计值。

19. （本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD 、CD 上， AE = CF ，EF 交BD 于点H 。

将△DEF 沿EF 折到△D ’EF 的位置。

（I ）证明：AC ⊥HD ’；
（II ）若AB = 5，AC = 6，AE =4
5
，OD ’ =22，求五棱锥D ’-ABCFE 的体积。

20. （本小题满分12分）
已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f 。

（I ）当a = 4时，求曲线y = f (x )在(1, f (1))处的切线方程； （II ）若当0)(),1(>+∞∈x f x 时，，求a 的取值范围。

21. （本小题满分12分）
已知A 是椭圆E ：13
42
2=+y x 的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA 。

（I ）当| AM | = | AN |时，求△AMN 的面积； （II ）当2| AM | = | AN |时，证明：23<<k 。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别在边DA 、DC 上（不与端点重合），且 DE = DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F 。

（I ）证明：B 、C 、G 、F 四点共圆；
（II ）若AB = 1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积。

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x + 6)2 + y 2 = 25。

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是)(,
sin ,
cos 为参数t t y t x ⎩⎨
⎧==αα，l 与C 交于A 、B 两点，| AB | =10，求l 的斜率。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数|2
1
||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f (x ) < 2的解集。

（I ）求M ；
（II ）证明：当|1|||ab b a M b a +<+∈时，
、。