48 12 0
84 0 12
幻方E
4. 双偶阶幻方的构造
对于双偶阶幻方，我们有比较 简单的构造方法。为此，我们先给 出一个概念：
补数——在一个n阶幻方的构造过程 中，数字p=1，2，…，n2的补数为n2 + 1 – p.
例如，在四阶幻方中，1的补数为16， 3的补数为14；在8阶幻方中，1的补数为 64，5的补数为60, 10的补数为55 。
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
如果给定一个等差数列，我们也 可以按照以上方式依次将数列数字 填入方格构造出奇数阶幻方。
3. 偶数阶幻方的海尔(Hire)构造
偶数阶幻方的构造总的来说要比 较困难。下面介绍的是法国人海尔的 方法。为此，我们先引入一个概念：
• 例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜各一种， 按照三种菜为一组分配，须保证每组菜的合计价格 都为15元，问有多少种分配方案?
• 例2、台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述： 从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的 就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的 电子回路设置密切相关。
8阶幻方超过10亿种。
2
幻方的构造
刚才已经介绍，在阶数大于3时 幻方的种类有很多，但能够具体构 造出来的却不是很多。下面我们介 绍4种构造幻方的通用方法。
（1） 杨辉与奇数阶幻方的构造
我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深 入系统的研究，他于1275年给出了3—10阶的 幻方。这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造 方法，这些方法记载于他的《续古摘奇算经》 上。比如，对于3阶幻方，方法是：“九子斜 排，上下对易，左右相更，四维挺进。”，具 体操作如下图：
1 42 753 86
9
9 42 357 86
1
492 357 816
九子斜排 上下对易，左右相更 四维挺进
类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等 奇数阶幻方。下图给出了5阶幻方的构造过 程。
25子斜排
1
6
2
11
7
3
16
12
8
4
21
17
13
9
5
22
18
14
10
23
19
15
24
20
25
上下对易，左右相更 25
下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶 幻方的构造方法。
首先将从1到82这82个自然数依次 连续填入方阵各方格内（如图）
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
• 第一，数的概念直接而又形象地包含在河图洛 书之中。两图中黑点组成的数都是偶数（古代 称阴数），白点表示的数是奇数（古代称阳 数）。河图含有1~10共10个自然数，洛书含有 1~9共9个自然数。因此，数字性是河图洛书的 基本内容之一。
• 第二，对称性。河图洛书的结构对称。河图， 以两个数字为一组，分成五组，以[5，10]居 中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8， 3]依次均匀分布在四周；洛书，以数5居中， 其余8个数均匀分布在八个方位。
24
20
11
7
3
4
12
8
16
5
17
13
9
21
10
18
14
22
23
19
15
6
2
1
四维挺进
25
24
20
11 24 7 20 3
4 4 12 25 8 16 16
5
17 5 13 21 9
21
10 10 18 1 14 22 22
23 6 19 2 15
6
2
1
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
然后将两条对角线及方阵内与对角 线平行间隔为两格的的斜线上的数 字分别换为各自的补数，得到的方 阵即是一个n阶（双偶阶）幻方。
64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1
洛书开了幻方世界的先河，成为组 合数学的鼻祖。数学家华罗庚对洛 书非常推崇，称“洛书可能作为我 们和另一星球交流的媒介。”
几千年来，“河图”与“洛书”成了我 们中华民族通晓自然奥秘的宝库，哲学、 天象、医学、数学、音乐等都从中得到 启蒙。
（1）洛书与幻方
把“洛书”用数字表达就是下 面的数表，这就是我们今天要讨论 的一个“幻方”。
还有一些特殊性质的幻方:
如果一个幻方中的各数换为它的 平方数后得到的数图还是幻方，则 这个幻方叫做双重幻方或平方幻方；
如果一个幻方的各横行、直列、 对角线上各数字之积也分别相等， 则称之为乘积幻方。
幻方有多少？
可以很容易地证明，2阶幻方是 不存在的。
我国南宋时期数学家杨辉早在 1275年就给出了3—10阶的幻方。
• 与河图相比，洛书标志着中国原始文化 的更高成就，她只用了9个自然数排列成 一个正方形，形成华夏历史上影响深远的 九宫图，且奇妙结构和无穷变化，令中外 数学家为之叹服！她的魅力吸引了许多中 外学者对她进行长期的研究， 古人对洛书推崇备至，认为她能含盖人 间万事万物，其小无内，其大无外，用之 言天则天在其中，用之言地则地在其内， 用之言人而人不在其外，尤其是纵、横、 对角线上的3个数之和均等于15，使其成为 我国古代都城的规划模式。
（2） 奇数阶幻方的劳伯尔（De La Loubère）构造
原理：1 居上行正中央,下数依 次右上放。 上出格时往下放,右出格 时往左放。排重便往自下放,右上出 格一个样。
1 居上行正中央,下数依次右上放 。 上出格时往下放,右出格时往左 放。排重便往自下放,右上出格一个 样。
17 24 1 8 15
492 357 816
• 最早有关幻方的文字记载是中国古代数 学书《数术拾遗》，那里记载了上述源 自“洛书”的方图，当时称为“九宫 图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为 纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。
长期以来，纵横图被作为一种数字游 戏。直到南宋时期，杨辉将她作为一个 数学问题而加以深入的研究。
3
幻方奇趣
1. 九宫图的奥秘
• 九宫数图最基本的规 律，是其纵横及对角
492
线上三数之和都为15， 且九个数相加之和为
3
5
7
45，是15的3倍。
816
• 438+951+276 = 834+159+672
4382 9512 2762 8432 1592 6722
香港业余数学家黄志华先生 发现了下面有趣的现象：用 幻方中的1，3，9，7顺时针 构造四个两位数：97，71， 13，39，以及逆时针构造四 个两位数：31，17，79，93
品数学文化 第三讲
主讲人 杨 辉
主要内容
幻方溯源 幻方的构造 幻方奇趣
yi
幻方溯源
两
个传说
在我国古老的《易经》中有 这样一句话：“河出图，洛出书， 圣人则之。”后来，人们根据这 句话传出许多神话。
相传，在上古伏 羲氏时代，洛阳东北 孟津县境内的黄河里 跃出一匹龙马，龙马 背上驮了一幅图，上 面有黑白点55个，用 直线连成10数（如 图），献给伏羲。后 人称之为“河图”。 伏羲依此而演绎成八 卦，后为《周易》来 源。
492 357 816
• 他用计算器验算： • 97+71+13+39=31+17+79+93；
972 712 132 392 312 172 792 932
973 713 133 393 313 173 793 933
• 顺着这种思路，我们构造两个三位数组： 139，397，971，713及79，793，931， 317．用计算机验算，同样发现
目前，国外已经排出了105阶幻 方，我国数学家排出了125阶幻方。
同一阶幻方，可以有多种不同的排 法，阶数越大，排法越多。如果不包 括通过旋转或反射得到的本质上相同 的幻方，我们有：
3阶幻方只有1种；
4阶幻方有880种；
5阶幻方有275305224种（约两亿 七千五百万）；
7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万） ；
是否对任意自然数n都存在n阶幻方？ 对每个n存在多少个n阶幻方？如何构作？
这就是组合数学研究的问题之一。
（2）为什么要研究幻方？ 幻方有多少？
为什么要研究幻方？
幻方起源于古老的传说，自古有一种神 秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。 许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她 包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本 身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究 幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、 政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科 学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱 灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序 设计、组合分析、人工智能、图论等许多方 面发现了新用场。
根数——在一个n阶幻方的构造过程中， 数字 p = 1，2，…，n的根数为n(p-1)