内容
基本要求
略高要求
较高要求
圆幂定理
会在相应的图中确定圆幂定理的条件和结论
能用圆幂定理解决有关问题
板块一 相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图，弦 和 交于 内一点 ，则 ．
相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
∵ ，由射影定理得 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ．
由割线定理得 ，
∴ ．
【答案】
【例10】如图，同心圆 ， 交小圆于 两点，求证： ．
【考点】切割线定理
【题型】解答
【难度】3星
【关键词】
【解析】解法一：过 分别作小圆的切线 ， 为切点，
连结 ．
则 ，
∵ ，∴ ，
∵ 是小圆的切线，
∴ ，
∴ ．
解法二：过 作割线交小圆于 ，过 作割线交小圆于 ．
【例3】如图， 的两条弦 交于点 ，已知 ，则 的长为________．
【考点】相交弦定理
【题型】填空
【难度】2星
【关键词】
【解析】省略
【答案】
【例4】如图，圆的半径是 ， 两点在圆上，点 在圆内， ， ， 求点 到圆心的距离．
【考点】相交弦定理
【题型】解答
【难度】4星
【关键词】
【解析】连结 ，则线段 的长就是所求点 到圆心的距离．
连结 ，延长 交 于 ，过 点作 于 ，延长 交 于 ．
设 ，由相交弦定理可得 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
，
在 中， ，∴ ，
即 ，解得 ，
∴ ，
．
【答案】
【例5】如图，正方形 内接于 ，点 在劣弧 上，连结 交 于点 ．若 ，则 的值为___________．
【考点】相交弦定理，勾股定理
【题型】填空
【难度】4星
【例1】如下左图，在 中，弦 与 相交于点 ，已知 ，那么 ．
【考点】相交弦定理
【题型】填空
【难度】2星
【关键词】
【解析】省略
【答案】
【例2】如下中图，在 中，弦 与半径 相交于点 ，且 ，若 ，则 的长为()
A． B． C． D．
【考点】相交弦定理
【题型】选择
【难度】2星
【关键词】
【解析】省略
【答案】D
由割线定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【答案】见解析
1.如下右图，在 中， 为弦 上一点， ， 交 于 ，那么()
A． B．
C． D．
【考点】相交弦定理
【题型】选择
【难度】2星
【关键词】
【解析】省略
【答案】B
2.如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ， 是 延长线上的点，连结 交 于 ，如果 ，且 ，那么 的长是．
【考点】切割线定理
【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】省略
【答案】 ．
A． B． C． D．
【考点】切割线定理
【题型】选择
【难度】3星
【关键词】
【解析】省略
【答案】B．
【例9】如图， 是半圆 的直径， 于点 ， ．已知点 在 的延长线上， 与半圆交于 ，且 ，则 的长为_____________．
【考点】切割关键词】
【解析】连结 ，
∵ 是 的直径，∴ ，
【解析】⑴ 过圆心 ，且 分别切 于点
∴ 于点 ， 于点 ，
∴ 与 重合， 与 重合．
∵ ，
∴ ．
⑵连接
∵ 于点 ，且 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
同理 ，
∴ ．
⑶猜想 ．
证明：过点 作直径交 于点 ，连结 ，
∴
∵ ，∴ 且
∴ ，∴ ，
∴ ，
同理 ，∴ ．
则
∴ ．
过点 做直径交 于点 ，
则有阅读材料可知 ，
∴ ．
【答案】见解析
板块二、切割线定理
如图，在 中， 是 的切线， 是 的割线，则题意中满足
【例7】如图， 是半圆的切线，且 ，过 的切线交 与 ，若 ，则 半径为， __________．
【考点】切割线定理
【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】省略
【答案】 ； ．
【例8】如图，过点 作 的两条割线分别交 于点 和点 ，已知 ，则 的长是()
⑴ 若 恰经过圆心 ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算 的值；
⑵若 ，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算 的值；
⑶若 是过点 的任一弦(图2)，请你结合⑴⑵的结论，猜想 的值，并给出证明．
【考点】相交弦定理，切线的性质及判定，相似三角形的性质及判定
【题型】解答
【难度】4星
【关键词】2009年，东城一模
【关键词】
【解析】连结 ，设 半径为 ， ，则 ．
在 中，根据相交弦定理得 ，
即 ，∴ ，
由勾股定理得 ，
即 ，解得 ．
∴ ．
【答案】
【例6】(09东城一模)请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．如图1，若弦 交于点 ，则 ．
请你根据以上材料，解决下列问题．
已知 的半径为 ， 是 内一点，且 ，过点 任作一弦 ，过 两点分别作 的切线 和 ，作 于点 ， 于点 ．(如图2)