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1 / 29圆幂定理STEP 1:进门考理念：1。
检测垂径定理的基本知识点与题型。
2。
垂径定理典型例题的回顾检测。
3. 分析学生圆部分的薄弱环节.(1）例题复习。
1.（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形．【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,在△AOE中，AE=AB=4cm,则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．2 / 29【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形．3 / 292.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm【考点】M2：垂径定理;PB：翻折变换(折叠问题）．【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA,∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）,∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选:D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a）（a＞3），半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）4 / 295 / 29A ．4B ．C ．D ．【考点】M2：垂径定理;F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】PC⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3)，则△OCD 为等腰直角三角形,△PED 也为等腰直角三角形．由PE⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE 中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+． 【解答】解:作PC⊥x 轴于C,交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，如图，∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ）， ∴OC=3，PC=a ，把x=3代入y=x 得y=3， ∴D 点坐标为(3,3）， ∴CD=3,∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE 中，PB=3, ∴PE=， ∴PD=PE=, ∴a=3+． 故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0)，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．【考点】FI:一次函数综合题．【专题】16 :压轴题．【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案．【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4, ∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4）, ∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0），∴圆的半径为13,∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置．STEP 2：新课讲解6 / 297 / 291、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。
3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。
4、通过课上例题,结合课下练习。
掌握此部分的知识。
一、相交弦定理 ➢ 基本题型： 【例1】 (2014秋•江阴市期中)如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，若AP=3，BP=4，CP=2,则CD 长为（ ）A ．6B ．12C ．8D ．不能确定【考点】M7：相交弦定理．【专题】11 ：计算题．【分析】由相交线定理可得出AP •BP=CP •DP ，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD 的长,从而得出CD 即可．【解答】解：∵AP •BP=CP •DP ，∴PD=，∵AP=3,BP=4，CP=2，∴PD=6,相交弦定理 (1）相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB 、CD 交于点P,则PA•PB=PC•PD （相交弦定理）(2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P,则PC 2=PA•PB （相交弦定理推论）．∴CD=PC+PD=2+6=8．故选C．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【练习1】（2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3,点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5 C．+1 D．【考点】M7：相交弦定理．【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AE===，∵BC=3，BE=1，∴CE=2,由相交弦定理得:AE•EF=BE•CE，∴EF==,∴AF=AE+EF=；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．8 / 29➢综合题型【例2】（2004•福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB,垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤【考点】M7:相交弦定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理;S9：相似三角形的判定与性质．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．【解答】解:延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE，QF∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，∴∠1=∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角,∴∠1=∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN=EN，同理NQ=NF，∵点N是MW的中点，MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），∴MN:NQ=PN：MN，∵∠PNM=∠QNM，∴△NPM∽△NMQ,9 / 29∴∠Q=∠PMN（故③正确）．故选B．【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．➢与代数结合的综合题【例3】（2016•中山市模拟)如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为(）A．B．C．D．【考点】M7：相交弦定理;KQ：勾股定理．【专题】11 :计算题．【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r 的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r,QO=m，则QP=m，QC=r+m,QA=r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD．即（r﹣m）（r+m）=m•QD,所以QD=．10 / 29连接DO，由勾股定理,得QD2=DO2+QO2，即，解得所以,故选D．【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．➢需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋•苏州期末)如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB 交⊙M于C，若AB=8,BC=1，则AM=．【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．【解答】解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，则EM=MA=MF，11 / 2912 / 29由相交弦定理知，AB •BC=EB •BF=（EM+MB)(MF ﹣MB ）=AM 2﹣MB 2=8，∵AB 是圆O 的直径，∴∠AMB=90°，由勾股定理得，AM 2+MB 2=AB 2=64，∴AM=6．【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．二、割线定理➢ 基本题型 【例5】 （1998•绍兴）如图，过点P 作⊙O 的两条割线分别交⊙O 于点A 、B 和点C 、D ，已知PA=3，AB=PC=2，则PD 的长是（ ）A ．3B ．7。