显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2) 将l0(x), l1(x), l2(x)代入得
( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
( 7 2.6458 )
二、Lagrange插值多项式
设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且 yi=f(xi) (i=0,1,2…,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)
定义 若n次多项式lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节 点x0 <x1<…<xn上满足条件
求出a0,a1,a2，即可得到5、6月份的日照时 间的变化规律。
定义 已知函数y=f(x)在[a,b]有定义，且已知它在 n+1个互异节点 a ≤ x0 <x1<…<xn≤b
上的函数值
y0=f(x0)，y1=f(x1) ,…,yn=f(xn)，
若存在一个次数不超过n次的多项式
Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 满足条件 则称Pn (x)为f(x)的n次插值多项式。
三、插值余项与误差估计
定义 若在[a,b]上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误 差 Rn (x)＝f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。 定理 设 f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b， Ln (x)是满足条件Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)的插 值多项式，则对任何x[a,b]，插值余项
1 1 2 4 1 . 71 10 M N 1 . 14 10 300 |R1 ( x)| 2 2 2! 2 1 1 |R2 ( x)| M 3 N 3 1.51 10 6 9300 2.35 103 3! 6
从以上分析可知 , 在求 175 时 用Lagrange 二次插值比线性插值的 误差更小
M 2 max | f ( x)| | f (169)| 1.14 104 M 3 max | f ( x)| | f (144)| 1.51 106
144 x 225
N2 | 2 ( x)| |(175 169)(175 225)| 300 N3 | 3 ( x)| |(175 144)(175 169)(175 225)| 9300
例 已知
4 2, 9 3, 16 4
求
7
解 取x0=4,y0=2，x1=9, y1=3 ，x2=16, y2=4. （1）线性插值： 取x0=4, x1=9
9 x x4 L1 ( x) 2 3 94 94 2 3 13 7 L1 (7) (9 7) (7 4) 2.6 5 5 5
满足下述条件：
x [ x0 , x1 ] x [ x1 , x2 ] x [ xn 1 , xn ]
(1)S(x)在每一个子区间[xj-1 , xj ] ( j= 0,1,2,· · · ,n)上 是一个三次多项式； (2) S(x)在每一个内接点xj ( j= 0,1,2,· · · ,n)上具有直 到二阶的连续导数；
3.3 三次样条插值
因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导 数连续但需要已知，故引入样条插值概念。 样条：是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成 的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一 阶和二阶导数也是连续的。 1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓 的样条函数。
点x0,x1,…,xn称插值节点， f(x)为被插值函数。[a,b]称插 值区间，点 x称插值点。插值点在插值区间内的叫内插， 否则叫外插。
定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。
证明：
设 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn 是y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的插值多项 式，则求Pn (x)问题归结为求系数a0,a1,…,an。 由插值条件： Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
n a0 a1 x0 a n x0 y0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 a a x a x n y n n n 0 1 n
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x x n 1 x1 x x V ( x0 , x1 , xn ) ( xi x j ) ni j 1 1
y1 y0 L1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0
x x0 x1 x L1 ( x ) y1 y0 x1 x0 x1 x0
由两点式可以看出， L1 (x)是由两个线性函数 x x0 x1 x l0 ( x ) , l1 ( x ) x1 x0 x1 x0 的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即
n=2时，
1 R2 ( x) f ( )( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 6
( [ x0 , x2 ])
当 f(x) 是n次的多项式时, Ln(x)= f(x)。即n次多 项式的n次插值函数即为该n次多项式本身。
例:
若f ( x) x , 三个节点为 144,169,225
试估计用Lagrange 线性和二次插值做 f (175)近似值的 截断误差 .
解:
设R1 ( x)为Lagrange 线性插值的余项 R2 ( x)为二次Lagrange 插值的余项
f ( x )
1 2 x
169 x 225
3 1 2 f ( x ) x 4
5 3 2 f ( x ) x 8
一、三次样条插值函数的定义 定义： 给定区间[a,b]上的一个划分：a = x0 <x1<…<xn=b，已知函数f(x)在点xj上的 函数值为 f (xj) = yj, ( j= 0,1,2,· · · ,n)如果 存在分段函数
S1 ( x) S ( x) 2 S ( x) S n ( x)
故
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 )
同理
( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
即
1 lk ( x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1,2)
满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x), 因x1, x2 为其零点，故可表为
l0 ( x) A( x x1 )(x x2 )
1 A ( x0 x1 )(x0 x2 )
其中A为待定系数，由l0(x0)=1 , 得
1 lk ( x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1,…,n)
则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为 节点x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由n=1,2时的讨论可得
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形 假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设 L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数，且在节点 上满足： l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0. l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1.
因
2 0 2 1
n 0 n 1
xn
2 n xn xn
xi x j (i j)
故上式不为0。
Hale Waihona Puke 据Cramer法则，方程组解存在且唯一。
故Pn (x)存在且唯一。
2.2 Lagrange插值
一、线性插值与抛物插值 1. 线性插值：n=1情形 给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的 直线。 L1 (x)的表达式： 点斜式: 两点式:
或记为
(k = 0,1,2,…,n)
( x xi ) lk ( x ) i 0 ( xk xi )
n ik
(k=0,1,2,…n)