第二章 习 题
1. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别为4，2，5，求Lagrange 插值多项式的表达式.
2. 已知函数
()f x 在3x =和
4的值分别为0.5和0.64，用线性插值求此函数在
3.8x =的函数值.
3. 证明：对于
()f x 的以01x x <为节点的一次插值多项式1()p x ，有
2
101()()()8
x x f x p x M −−≤，01x x x ≤≤，
其中01
max ()x x x M f x ≤≤′′=
.
4. 已知函数
()f x 的函数值表：
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ()f x
0.70010
0.40160
0.10810
-0.17440
-0.43750
试利用这个函数表求函数()f x 在0.3和0.4之间的零点.
5. 设
01,,,n x x x ⋅⋅⋅为1n +个互异的节点，()k l x 为n 阶
Lagrange 插值基函数，
0()()n
k k x x x ω==−∏.证明：
（1）
0()1n
k k l x =≡∑；
（2）
0(),0,1,2,,k
n
j
j
k
k x l x x j n =≡=⋅⋅⋅∑；
（3）
()()0,0,1,2,,n
j
k k k x x l x j n =−≡=⋅⋅⋅∑； （4）()
()()()
k k k x l x x x x ωω=
′−.
6. 若73()1f x x x =−+，求0172,2,,2f ⎡⎤⋅⋅⋅⎣⎦和018
2,2,,2f ⎡⎤⋅⋅⋅⎣⎦.
7. 设
53()1f x x x =++，求以1x =−，-0.8，0，0.5，1为插值节点的Newton 插值多
项式和插值余项.
8. 已知函数值表：
x 0 1 4 3 6 ()f x
-7
8
5
14
求Newton 插值多项式的表达式.
9. 分别在下列情况下计算 1n −次多项式()p t 在指定点t 的的值，各需要多少次乘 法运
算？
（a）多项式()p t 按照单项式基函数展开； （b）多项式()p t 按照Lagrange 基函数展开； （c）多项式()p t 按照Newton 基函数展开.
10. 在区间[]0,/2π上使用5个等距节点对函数sin t 进行插值，试计算最大误差. 在
[]0,/2π上选取若干点，比较函数值和插值多项式的值，验证误差界. 如果希望最大误
差为10
10
−，需要多少个插值节点？
11. 一直平面曲线()y f x =过点（0,1）
，（1,3），（2,4），试求一个三次多项式3()p x ，使其经过这3个点，并且满足3(1)1p ′=；然后给出余项3()()()R x f x p x =−的表达式. 12. 试求一个四次多项式4()p x ，使其满足44
44(0)(0)0(1)(1)1p p p p ′′====，，4(2)1p =.
13. 能否通过使用分段二次多项式进行插值，使插值函数是二次连续可微的？为什么？ 14. 设[]4
(),f x C
a b ∈. 求三次多项式()p x ，使之满足插值条件
11
()(),0,1,2,
()(),i i p x f x i p x f x ==⎧⎨
′′=⎩
上机习题
1. 对Runge 函数()R x ，利用下列条件做插值逼近，并与()R x 的图像进行比较.
（1）用等距节点5i x i =−+,0,1,2,,10i =⋅⋅⋅，绘出它的10次Newton 插值多项式的图像； （2）用节点21
5cos(
)42
i i x π+=,0,1,2,,20i =⋅⋅⋅，绘出它的20次Lagrange 插值多项式的图像；
（3）用等距节点5i x i =−+,0,1,2,,10i =⋅⋅⋅，绘出它的分段线性插值函数的图像； （4）用等距节点5i x i =−+,0,1,2,,10i =⋅⋅⋅，绘出它的分段三次Hermite 插值函数的图像； （5）用等距节点5i x i =−+,0,1,2,,10i =⋅⋅⋅，绘出它的三次自然样条插值函数的图像；。