推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
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定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
anpn
k
p1 p2

(1) ( p1 p2
pn
pn )
a1 p1
ai 1 pi1 aipi ai 1 pi1
anpn
kD
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
2 1 1 2 1 1 0 1 1 8 0 1 1 8 2 16 24 16 8 3 2 1
a ain ain i1 ann
an1 an 2
性质1.5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然 后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.
a11
a1i
a1 j
a1n
a 21 a 2 i a 2 j a 2 n k a n1 a ni
(321) 3
7
定理1.1
对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列 变成偶排列，偶排列变成奇排列.
定理 1.2
在全部n级排列中(n≥2)，奇偶排列各占一半.
定理1.3
任意一个
n 级排列可经过一系列对换变成自然排列，
并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同.
三、ｎ阶行列式定义
引：三阶行列式的定义的另一种表示：
2、把该项的元素按行 标自然顺序排列，然 后求列标的逆序数
(1)
2
d1d 2 d n
14
用定义计算
a11 D 0 0 0
0 a22 a32 0
0 a23 0 a43
0 0 a34 a44
15
a11a22a34a43 a11a23a32a44
用定义计算
a11
a12
a13 a23 0 0 0
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
(p p3 ) a a a a11 a22 a33 a 1p 2a 12 a 23 31 13 21 32
p1 p 13 2 p3 22 31
1 a a a a
1 2 3 a a a a a 12 21 33 11 23 32
a1 p a2 p a3 p
• 左边是一个三行三列的“数表”， • 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积； • 右边共含6项，包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合；
问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律 ？？
9
三、ｎ阶行列式定义
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
a11a22
三、ｎ阶行列式定义
当行列式中的零元素相当多时，可以用定义计算其值
•特别对于象对角行列式、三角行列式；
例
d1 0 0
0 0 dn
0 0

0 0 d1d 2 d n
1、所有n!项中，只 有1项不等于零！
d2
dn
0 d2 0
d1 0 (1) [ n( n1)21] d d d 1 2 n n( n 1) 0
a11 ci kc j
a nj
a nn
a1n ann
25
(a1i ka1 j ) a1 j
a 21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (a ni kanj ) anj
a11a23a34a42
a12a23a34a41
(1342 ) 2 , (2341 )3

11
例 证明n阶行列式
a11 0 0 0 a12 a 22 0 0 a13 a 23 a 33 0 a1n a 2n a 3n a11 a 22 a 33 a nn a nn
故只需考虑 已取
乘积中因子不出现零的项. 对于上三角行列式，第n行中当
pn 1 n 1 或 pn 1 n这两种情形. 但是 pn n，并且 pn 1 pn，因此只有 pn 1 n 1
ann可能不为零，而 (12 n) 0
结论得证
依次类推，可知在n阶行列式的展开式中只有唯一的一项

p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn

p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a p11a p2 2 a pnn
说明
• 等式右端的求和是对所有的n级排列求和，
• 右端的展开式中共含 n! 项，各项均为左端 的不同行不同列的元素乘积； • 上述n阶行列式可简记为 det(aij ) • 一个数也可看为一阶行列式
又如
(135(2n 1)246(2n))
(n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
练一练： (135264 )
(462531 )
＝4 ＝11
5
思考： 解：
n(n 1)(n 2)...21 是奇排列还是偶排列？？
n(n 1) (n(n 1)( n 2)...21) 1 2 (n 1) 2
(31254）=3，所以31254是奇排列
.例如，自然数1，2，3的排列共有六个： 1 2 3， 3 1 2， 2 3 1， 1 3 2， 2 1 3， 3 2 1.
偶排列: 逆序数为偶 数的排列
奇排列：
逆序数为偶 数的排列
(312) 2,
n! 结论：一个ｎ级排列中奇偶排列各占一半，即 2
,n
DT
b11 b21
b12 b22
b1n b2 n bnn


bn1 bn 2
p1 p2

(1) ( p1 p2
( p1 p2
pn )
pn
b1 p1 b2 p2
bnpn
a pn n
D
p1 p2

(1)
pn
pn )
a p11a p2 2
性质1.2 互换行列式的两行(列)，行列式变号.
.例如
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
1
1 1 2
2
0 1 3 1
2
注意：第i行(列)与第j行(列)交换记为:
ri rj (ci c j )
推论 ： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
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性质1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式.
DT ，
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
T
T D 即 D 是这样得到的：把D中第i行作为 的第i列，这就是说
D T 的第i行第j列处的元素为D的第j行第i列处的元素. 称D
为行列式D的转置行列式.
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. ， ) bij a ji , i , j 1, 2, 证 记 D det(aij 则由行列式的定义式(1.8)与(1.9)可得
a a
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
11
21
a a
12 22
a11a22 a12 a21
a13a21a32
a13 a 23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1
第一章 行列式
这种主对角线(从左上角到右下角的对角线)以下(上
)的元素都是0的行列式，称为上(下)三角行列式.
pn n
证 由于n阶行列式的展开式中每一项的一般形式是(Βιβλιοθήκη ) ( p1 p2pn )
a1 p1 a2 p2
anpn
其中只要有一个元素等于零，乘积就是零，所以只需计算
pn n 时， anpn 0，故只需考虑 pn n 的项即可. 又因 为在第 n 1行中，当 pn 1 n 1, n 时，an1, pn1 0