圆锥曲线的焦半径公式及其应用圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x0,y)为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF=a+e x0,2PF=a-e x0.(2) 若P(x0,y)为椭圆22ya+22xb=1(a>b>0)上任意一点，F2、F1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF=a+e y0,2PF=a-e y0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x0,y)为双曲线22xa-22yb=1(a>0，b>0)上任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P在双曲线的左支上时，1PF=-e x0-a,2PF= -e x0+a.②当点P在双曲线的右支上时，1PF=e x0+a,2PF= e x0-a.(2)若P(x0,y)为双曲线22ya-22xb=1(a>0，b>0)上任意一点，F2、F1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P在双曲线的下支上时，1PF=-e y0-a,2PF= -ey0+a.②当点P在双曲线的上支上时，1PF=ey0+a,2PF= ey0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p下面举例说明上述各公式的应用例1．求椭圆216x +225y =1上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距离.解：易知a=5,e=35且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35×4=375,2MF = a-e y 0=5-35×4=135。

例2.试在椭圆225x +29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍．解：由1212210{PF PF PF PF =+=，得12203103{PF PF ==。

设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45x 0=203，解之得x 0=2512，所以P(2512, 1194±). 例3.在双曲线216x -29y =1上求一点M ，使它到左、右两焦点的距离 的比为3：2，并求M 点到两准线的距离。

解：设点M 的坐标为（x 0，y 0）, 左、右两焦点分别为F 1、F 2，则由1MF ：2MF =3：2，知1MF >2MF ,所以点M 在双曲线216x -29y =1的右支上，∴1MF =ex 0+a,2MF = ex 0-a ，即(ex 0+a):( ex 0-a)=3:2，∴ 2(ex 0+a)=3(ex 0-a),把a=4, e=54代入，得x 0=16, ∴y 0=315±,即M （16，315±）。

故双曲线的准线方程为x=±2a c =±165,∴M 点到两准线的距离分别为965和645。

例4． (1994年全国高考题) 设F 1、F 2是双曲线24x -y 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90︒，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ）A ．1B ．52C ．2D ．5 解：根据对称性，可设点P(x 0,y 0)在双曲线的右支上，则1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.由∠F 1PF 2=90︒，得21PF +22PF =212F F ，即(ex 0+a)2+(e x 0-a)2=4c 2,∴e 2x 02+a 2=2 c 2,即e 2x 02=2 c 2-a 2= a 2+2b 2,∴S=121PF 2PF =12( e 2x 02- a 2)= b 2=1,故选(A). 练习： (2001年全国高考题)双曲线29x -216y =1的左、右两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______.提示：仿照例2可求出x P2=41925⨯，代入双曲线29x -216y =1，得y P2=21625,∴点P 到x 轴的距离d=165. 例5.(2000年全国高考题)椭圆29x +24y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是______.解：易知e=53.设点P 的横坐标为x 0,则1PF =a+e x 0=3+53x 0,2PF =a-e x 0=3-53x 0.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=2251952(9)9x x --=22592(815)x x --,∵∠F 1PF 2是钝角，∴-1< cos ∠F 1PF 2<0,即-1<22592(815)x x --<0,解之得-355< x 0<355. 例6．若抛物线y 2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）A ．成等差数列B ．常数数列C ．成等比数列D ．非等差、等比数列解：设抛物线y 2=2px(p>0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，y 32=2px 3.由y 12+y 32=2y 22,得x 1+x 3=2x 2.∴AF +CF =(x 1+2p )+(x 3+2p)=x 1+ x 3+p=2x 2+p=2(x 2+2p)=2BF ，∴AF ，BF ，CF 成等差数列,故选A.例7．在抛物线x 2=2py(p>0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A 的坐标.解：根据抛物线的焦半径公式，有4++2p =5，∴p=2,故抛物线的方程为x 2=4y 。

将x=m,y=4代入x 2=4y,得m=±4, ∴点A 的坐标为（-4，4）或（4，4）.例8．在双曲线213x -212y =-1的一支上有不同的三点A(x 1,y 1)、B(x 2,6)、C(x 3,y 3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。

(1)求y 1+ y 3;(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。

解(1)：由题设知，A 、B 、C 在双曲线的上支上，故有AF =e y 1-12，BF =6e -12，CF =e y 3-12.∵AF ，BF ，CF 成等差数列,∴2×6e= (e y 1-12)+( e y 3-12),即y 1+ y 3=12.证(2)：∵A 、C 在双曲线213x -212y =-1上，∴2113x -2112y =-1，2313x -2312y =-1，两式相减，得 1313y y x x --=13131213x x y y +⋅+=1313x x +，即k AC =1313x x+,于是线段AC 的垂直平分线方程为y-6=-1313x x +(x-132x x +),即1313x x +x+y-252=0,又∵1313x x +是实数，∴x=0且 y=252，故直线经过定点(0, 252).例9．设F1、F2是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右两个焦点，P是椭圆上的任意一点，且∠F1PF2=2θ，求证：⊿F1PF2的面积S=b2tanθ.证明：设点P的坐标为（x0,y），则1PF=a+e x0,2PF=a-e x0.由余弦定理，得（a+e x0）2+（a-e x）2-2（a+e x）（a-e x）cos2θ=(2c)2,即a2+ e2x2-( a2- e2x02) cos2θ=2c2,∴a2(1-cos2θ)+ e2x2(1+ cos2θ)=2c2,∴a2sin2θ+ e2x02cos2θ=c2,∴e2x02=2222sincosc aθθ-, ∴S=121PF2PF sin2θ=12（a+e x）（a-e x）sin2θ=12( a2- e2x2)sin2θ=12( a2-2222sincosc aθθ-)sin2θ=12⋅222222cos sincosa c aθθθ-+⋅2sinθcosθ= b2tanθ.说明：1.题设中的⊿F1PF2通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y轴上的椭圆也适用。

2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=b2cotθ,其中∠F1PF2=2θ（P为双曲线上的任意一点）.3.利用本例结论很容易求解下面的习题：设F1、F2为椭圆24x+2y=1的左、右两个焦点，点P在椭圆上且满足∠F1PF2=90︒，则⊿F1PF2的面积是（）A．1 B.52C.2D.5请读者不妨一试，答案：选A.例10.过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：2AB NF =. 证明：设抛物线的方程为x 2=2py(p>0)，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，两式相减，得1212y y x x --=122p y y +=0p y ，即k AB =0py .∵MN ⊥AB ，∴k MN =-0y p，∴直线MN 的方程为y-y 0=-0y p(x-x 0),令y=0, 得x N = x 0+p ，∴NF = xN -2p= x 0+2p ,又∵AB =AF +BF =(x 1+2p )+(x 2+2p)= x 1+x 2+P=2x 0+P=2(x 0+2p),从而2AB NF =.例11.已知双曲线225x -2144y =1的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使1PF 是P 到L 的距离d 与2PF 的等比中项？若能，试求出点P 的坐标，：若不能，请说明理由.解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x 0,y 0)( x 0≤-5), 使1PF 2 =d ⋅2PF ，由双曲线的第二定义，得1PF d =e=135,即d=1PF d =5131PF ,∴1PF=5132PF ,又∵1PF =-ex 0-a=-(135x 0+5)， 2PF =-ex 0+a=-135x 0+5, ∴-(135x 0+5)=513(-135x 0+5), ∴x 0=-22552>-5, ∴不存在这样的点P .练习：.已知椭圆24x +23y =1，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点P，使它到左准线的距离为它到两个焦点F1、F2的距离的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.(答案：点P不存在)。