高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列一、考点分布1. 等比数列的概念（B ）2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程2. 基础练习（1）在等比数列{}n a 中，已知3331,4a S ==，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式（2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=.又0q ≠,所以13q =.说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（4）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +- 3. 典型例题例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是(A) S 2a 3＞S 3a 2(B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定（2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______．例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===⋅=⋅⋅⋅为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=⋅，12112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+⋅=⋅=====⋅则,即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列.22(||1),(1)(||1).1n n naa S a a a a =⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则112210n n n n n n n nb a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, ….当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列.例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）13521n a a a a -++++的值.解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a321243123111222114(),3391116().332711()(2),334,(2),3114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a S a a a S a a a a a S S a n a a n a a n n a a n +-+--==+===++=-=-=≥=≥==≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩由得又所以所以数列的通项公式为（Ⅱ）由（I ）可知a 3，a 3，…，a 2n -1，是首项为4,9公比为（34）2的等比数列，所以11135212161()4341691().497791()3n n n a a a a ----++++=+⋅=+- 例4. （备选）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；4. 规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明1n na q a +=为常数; 利用等比中项，证明212n n n a a a ++=对*n ∈N 成立.③方程思想：在1,,,,n n a a q S n 五个两种，运用待定系数法“知三求二”；函数思想与分类讨论：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列;当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列； 当q ＜0时为摆动数列； 当q =1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若 {}n a 是公比为q 等比数列，则22311{},{},{},{},{}n n m m nka a a a a +等还成等比数列，公比分别是2231,,,,kq q q q q，其中为非零常数. 若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则m n s t a a a a ⋅=⋅.5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3等比数列每课作业1．选择题（1）等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是 ( ) (A)179 (B)211 (C)243 (D)275 (2)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 (3) 给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程bx 2－2ax +c=0（ ） (A)无实数根(B)有两个相等的实数根 (C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________. (5)在1n和1n +之间插入n 个正数,使这2n +个正数成等比数列,则插入的n 个正数之积为_________. (6)一张报纸，其厚度为a ，面积为b .现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的厚度为_______,报纸的面积为 . 3．解答题（7）在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，求数列2{}n a 前n 项的和.(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.(9)数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．参考答案（1） B （2）B （3）A（4）设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.故最小内角是1arcsin2. （5）(5)21()nn n+ (6)128128b a （7）解:由由已知得 ,21-=n n a 所以数列2{}n a 前n 项的和为)14(31-n（8）解：设三个数分别为 a-d,a,a+d 则 （a －d ）＋a ＋(a ＋d )=3a ＝6 a =2三个数分别为 2－d,2,2＋d ∵它们互不相等 ∴分以下两种情况： 当(2－d)2=2(2＋d)时， d=6 三个数分别为-4,2,8 当(2＋d)2=2(2－d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4 因此，三个数分别为-4,2,8 或8,2,-4 (9)（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．。