2.3等比数列导学案（1）学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2 ••掌握等比数列的通项公式并能简单应用；重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题1 11 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 ——2 48问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？2、 等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。
3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法）4、等比数列的通项公式a n玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4a 3qa 1a na n 1q a 1a o根据等比数列的定义，可以得到—a 3---- ?a 4---- ?a n---- ? ?一以上共有a 1 a 2 a 3a n 1式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得__________ ，即a 1a 2 a 3a 1，即得到等比数列的通项公式。
方法2:（累乘法）a 2a 3 a 4a n 1三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 •这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项a n 0且q 03 q= 1时，｛a n ｝为常数。
2、 等比数列的通项公式 1: _________________________ .3、 等比数列的通项公式 2: _________________________ .4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。
贝U.5、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列四、预习检查：1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…；(2) -1,1,2,4,8 , ;⑶Ig3,lg6,lg12,…;(4) 1 2 3a ,a ,an7aJ；(5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n3 2n 。
(6) 已知数列 a n 的通项公式为ann32.已知数列1,24,-8,16•…它的公比是 ,通项公式是3. 已知数列 1 — 1 11 --- --- •… 则一 1是它的第项。
24 81284. 一个等比数列的第 9项是4，公比是一1 ,求它的第1项935.一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项示(q z 0),即:a n=q (q* 0)a n 1｛an ｝成等比数列a n 1 =q ( na nN ,q *0)精品文档3 五、导学探疑例题：在等比数列｛a n ｝中，1.已知 a i = 3, q=-2,求 a 6 ;2.已知a 3=20， a 6=160，求 a归纳方法： 六. 固学思疑：1 •等比数列 a n 中，a2 9,a 5 243,则 q %()A . 3B . 4C . 5D . 6 2. .21与2 1，两数的等比中项是()1A . 1B . - 1C . 1D .23. 等比数列 a n 中a 427,q3,求a 74. ____________________________________________________ 在等比数列 a n 中，若a 3 3, a 9 75,则a 10 = __________________________________________ .45. (13 大纲理6)已知数列a n满足3a n 1a n0, a2(n>1,n N )，则通项a n= _____________ .3§ 2.3等比数列(2)学习目标1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.一、温故知新1. 等比数列的定义：_______________________________2. 等比数列的通项公式a n =公比q满足的条件是_____________3. 等差数列有何性质？____________________________________________________4•.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列，那么称这个数G 称为a与b的等比中项.即G= _________________ (a, b同号).•学习探究(1) .在等比数列｛a n｝中，a52 a3a7是否成立呢？2(2) .a n a n i a n i(n 1)是否成立？你据此能得到什么结论？(3) .a2 % k% k(n k 0)是否成立？你又能得到什么结论?2. 等比数列的性质在等比数列中，若m+n = p+q,则a m a n a p a k .试一试：在等比数列a n，已知a1 5, a9a10 100，那么盹________________ .三•例题例1在等比数列｛ a n｝中，已知a4a7 512，且a3逐124，公比为整数，求a® .练习1。
在等比数列｛ a n｝中，已知a7a125，则a8a9a10a11 _______ .练习2.在7和56之间插入a、b，使7、a、b、56成等比数列，若插入c、d，使7、c、d、56成等差数列，求 a + b + c + d的值.变式：三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91,求这三个数。
例2•已知｛a n｝, ｛b n｝是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什a 2 a4a10变式：项数相同等比数列｛%｝与｛ b n｝，数列｛空｝也一定是等比数列吗？证明你的结论b n小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列•四.学习小结1. 等比中项定义；2.等比数列的性质.3、公比为q的等比数列｛a n｝具有如下基本性质：⑴数列｛| a n |｝, ｛a n2｝, ｛ca n｝ (C 0) , ｛a nm｝ (m N*), ｛a n k｝等，也为等比数列，公比分别为|q|,q2,q,q m,q k.若数列｛b n｝为等比数列，则｛a n g)n｝, ｛色｝也等比•b n* n m⑵若m N ,则a n a m gq .当m=1时，便得到等比数列的通项公式*(3 )若m n k l , m, n, k,l N，则am® a k ga i.⑷若｛a n｝各项为正，c>0,则｛log c a n｝是一个以log。
印为首项，log°q为公差的等差数列.若｛b n｝是以d为公差的等差数列，则｛C b n｝是以c b为首项，c d为公比的等比数列.当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列五.当堂检测1.在a n为等比数列中, a n 0, a?a4 2a3a52a5 16，那么a3 a5 ( ).A. ± 4B. 4C. 2D. 82.右一9, a1, a2, —1四个实数成等差数列，一9, b1, b2, b3,—1五个实数成等比数列,则b2(a2—a1)=( ).A . 8B . —89C. ± 8D.-83. 若正数a, b, c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log a X , log b X , log c X ( )A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1 ,16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于---------------5. 在各项都为正数的等比数列an中，玄5玄6=9，贝U log3 a1+ Iog3a2+…+log3a106. 在a n为等比数列中，a1a9 64 , a3 a? 20 ,求a^的值.7. 已知等差数列a n的公差0,且a1, a3, a：成等比数列，求一竺_ .a2 a4 a10§ 233等比数列的前n 项和一. 学习目标1. 掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的S n ,a n ,a i ,n,q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题学习过程二、 学习探究 等比数列的前n 项和②当 q=1 时，S n _ 公式的推导方法二:=a 1 qS n 1 = a 1 q(S n a n ). 二(1 q)Si a 1 a n q (结论同上)试试：求等比数列-,1 , 1 ,…的前8项的和.2 4 8三.例题例1已知a 1=27 ,玄9=丄,q<0，求这个等比数列前 5项的和.243练习2：等比数列中，a 3 - ,S 3 9,求$及q.2 2新知：等比数列的前n 项和公式 设等比数列 a 1, a 2,a 3,L a n L 公式的推导方法一： 则SnqS n a i ay ay 2L ag(1 q)S n它的前 2agn 项和是S n 1 时，S na ia2a3L an,公比为q z 0,① 或S n由等比数列的定义,a2a3La a 2a n a n 1a 2 q ，有丄a 〔 a 2a 3 L a .L a n 1S naiSnanS n a 1即 S n anq.二(1 q)S n a 1 公式的推导方法三:S n a n q (结论同上)a 1 a ? a 3 L a . = a 1 q(q a ? a 3 L a . J练习1:3 , a s 48 .求此等比数列的前 5项和.精品文档例 2.等比数列｛a n｝中，S30 13S o , S10 S30 140，求S20.变式：在等比数列中，已知S n48, S2n 60，求S3n.例3.数列｛a n｝的前n项和0 a n 1 (a^ 0, a工1)，试证明数列｛a n｝是等比数列变式：数列a n的前n项和为S n，a! 1 2S n 1,(n N*)，则a n四•当堂检测1. 等比数列｛a n｝中，S3 3 , S6 9，则S92. 在等比数列中，若2S3 a3 2S2 a4，则公比q= __________________3. 在等比数列中，印1 , a n 512 , S n ____ 341，则q = _ ,n =4. 等比数列的前n项和Sn2n1，求通项a n.则数列a n的前六项的和精品文档5. ( 13湖北理18)已知等比数列a n满足：a2 a3 10, a1a2a3 125。