名师堂学校“阶梯数学”出品2017年第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛模拟试题（2）（小学高年级组）一、选择题。

（每小题10分，四个选项仅有一个结论正确，请将正确答案的字母填在圆括号中）1. 甲、乙两个小朋友，在一条环形路上跑步，同时从同地出发反向跑，已知甲小朋友的速度是每秒5米，乙小朋友的速度是每秒7米，在14分钟内，他们相遇了21次，则环形路长（）米。

A ．480B ．510C ．450D ．620【考点】行程问题【难度】★★【答案】A【解析】设环形路长为M 米，则甲、乙相遇1次所需时间是：75 M =12M （秒），所以14×60÷12M =21，因此,M=480.2. 有一种计时方法，将一天分为十二个时辰。

在1729人中，至少有（）人出生在同一个月、同一个时辰，且有相同的生肖。

A ．4B ．3C ．2D ．5【考点】抽屉原理【难度】★★【答案】C【解析】因为1729=12×12×12+1，所以，至少2人出生在同一个月、同一个时辰，且有相同的生肖。

3. 图FI －10中，AB=5厘米，<ABC=85°，<ACB=45°<DBC=20°,则AD=（）厘米A ．4B ．3C ．2D ．5【考点】几何【难度】★★【答案】D【解析】因为∠ABC=85°，∠ACB=45°，∠DBC=20°，所以，∠ABD=85°-20°=65°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=20°+45°=65°。

得到AD=AB=5（厘米）。

4. 甲、乙、丙，三只蚂蚁同时从点A 出发，沿着三角形ABC 的三条边，AB ，BC ，CA 行进，甲在AB ，BC CA A BCD依次每分钟分别走36厘米，30厘米，45厘米，乙依次每分钟分别走45厘米，45厘米，30厘米，丙依次每分钟分别走30厘米，60厘米，36厘米，如果三者同时回到点A ，那么<ABC 的度数是（）度A ．30B ．90C ．45D ．60【考点】比和比例【难度】★★【答案】B【解析】设三边长分别为c ，a ，b 则366030304545453036b a c b a c b a c ++=++=++， 整理得a:b:c=3:4:5,所以∠ABC 的度数是90度。

5. 如图，ABCD 是一个边长为30厘米的正方形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为G ，AC 和BD 的交点为O ，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

A.125B.90C.75D.60【考点】几何【难度】★★★【答案】C【解析】在四边形ABED 中，由共边定理，可知 DEFBEF ADF ABF S S S S = 因为E 是CD 的中点，因此，DEFDEF ADF ADF S S S S -⨯=-⨯2230413021， 可以得到：21==ADF DEF S S AF EF 。

又有DE ：AB=1：2，所以，三角形DEF 的面积是三角形ADE 面积的三分之一。

三角形ADE 的面积=30×30÷4=225（平方厘米），三角形DEF 的面积=225÷3=75（平方厘米）。

同理，三角形 ECG 的面积也是75平方厘米，阴影部分的面积是正方形面积的四分之一减去三角形DEF 与三角形ECG 的面积和为，即为：30×30÷4－（75+75）=75（平方厘米）。

6. 养鸡场购进一批种蛋，若能全部孵化成小鸡，则有221倍的收益，但是实际所得收益仅为141倍。

这批种蛋的孵化率是（ ）%（百分数分子保留一位小数）A ．64.3B ．63.3C ．50D ．70B C E【考点】百分数应用题【难度】★★★【答案】A 【解析】解法一：这一批鸡蛋的孵化收益损失411411212=-；若是全部孵化失败，则要损失2131212=+，所以这批种蛋的孵化率是： %3.64%100149%1002134111=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-。

解法二：假设每个种蛋的成本价为1元，100个种蛋总成本价100元。

又设100个种蛋有S 个孵化出来，则孵化出后可卖S ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212元。

于是S ，14111001212+=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+因此这批种蛋的孵化率是149×100%=64.3%。

二、填空题7. 将一个五边形沿一条直线切成两部分，其中之一再沿一条直线切成两部分，然后再沿一条直线将三部分之一切成两部分，……如此下去，要得到20个五边形，最少要切（ ）次。

【考点】最值问题【难度】★★★【答案】38【解析】一个多边形被分成两部分，其内角和增加360°，切k 次共增加的度数为k ×360°，所以这（k+1）个多边形的度数和是k ×360°+540°。

另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（k －19）×180°+20×540°≤k ×360°+540°，整理得k ≥38。

当k=38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次讲四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成了20个五边形。

8. 计算28161＋365121＋704201－1843029－1604241－5535655=（ ） 【考点】计算问题【难度】★★【答案】450.375【解析】原式=281+365+704-185－161－554+56142130*********+++++ =450+871761651541431321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=450+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-817171616151514141313121 =450+0.375=450.3759. 某人沿公路从甲地到乙地，三分之一路程骑自行车，三分之二路程跑步，从乙地返回甲地时，三分之二路程骑车，三分之一路程跑步，骑自行车的速度是每小时18千米，步行速度是每小时8千米，而且从甲地去乙地比乙地返回甲地多用4.5小时，甲地到乙地的距离是（ ）千米。

【考点】行程问题【难度】★★★【答案】194.4【解析】设甲地和乙地之间的距离为S 千米，于是，5.4831832832183++=+SS S S ， 化简得：5.42454224254++=+S S S S ， 5.45424=-S S ， S=194.410. 已知整数ab 满足等式21a ＋b 1=20161，则a=（ ）。

【考点】数论【难度】★★★【答案】48【解析】解法一：因数分解2016=14×122.因此，只要考虑满足1411112=+b a的正整数a 1，b 1就可以了。

为此，考虑恒等式：14114141141=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n m n m n m n n m m ， 可以任取m ，n 为14的因数，且（m ，n ）=1，即可得解。

因此正整数对（m,n ）可取（1，2），（1，7），（1，14），（2，7）这4组，其中只有（1，7）对应我们要求的解。

因为112141112116121141811471417111412+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 从而原来的方程的解就是：a 2=42×122=482，即a=48.解法二：设a 2=dm ，b=dn ，这里（m ，n ）=1.则有： 2016111=+=+dmn m n dn dm 因为（m,m+n ）=1，（n,m+n ）=1，可再设d=k （m+n ），则有：a 2=k （m+n ）m ，b=k （m+n ）n ，kmn=2016. a 2=k （m+n ）m=km 2+2016=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7，这里m,n 丨25×32×7。

上述式子表示要寻找m ，n ，使⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7是完全平方数。

（1）当n=1时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7=（m+1）×25×32×7，m 无解； （2）当n=7时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7=（m+7）×25×32，m=1，此时，a 2=482； （3）当n=7×3k （k=1，2）时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7=（m+7×3k ）×25×32-k ， m=2p （p=0，1，2，3，4，5），显然，（2p +7×3k ）无因子2，m 无解；（4）当n=7×2p （p=1，2，3，4，5）时，⎪⎭⎫⎝⎛+n n m ×25×32×7=（3k +7×2p ）×25-p ×32不是完全平方数，即m 无解；（5）当n=2p ×3k （k=0，1，2；p=0，1，2，3，4，5；p+k ≠0）时， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7=（7+3k ×2p ）×25-p ×32-k ×7，7+3k 无因子7，m 无解； （6）当n=7×2p ×3k （k=1，2；p=1，2，3，4，5）时，m=1⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n m ×25×32×7=（1+7×3k ×2p ）×25-p ×32-k ，当25-p ×32-k 是完全平方数时，1+7×3k ×2p 不是完全平方数，当25-p ×32-k 不是完全平方数时，1+7×3k ×2p无因子2和3.献题老师简介雷红灯名师堂小学数学教师，6年教龄◆“三杯赛”优秀教练,名师堂竞赛项目组副组长◆《竞赛培优教程》教材编写核心成员◆教学宗旨：细心耐心恒心◆授课校区：新都。