第一讲 等差数列知1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。

如：2，4，6，8， ，1002、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

（省略号表示什么？）练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。

3、 计算等差数列的相关公式：（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差即：d n a a n ⨯-+=)1(1（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1即：1)(1+÷-=d a a n n（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2即：()21321÷⨯+=+++n a a a a a a n n在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

例1、计算2+4+6+……+96+98+100。

练习：1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

2、计算12+13+14+……+29+30+31。

3、试用两种方法计算以下题目：（1）、73+77+81+85+89+93 （2）、995+996+997+998+9994、求出所有的两位数的和。

例2、计算：（1）100+95+90+……+15+10+5。

练习：1、计算：1+2+3+4+5+……+99+100+99+98+……3+2+1。

2、有10只盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒子中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？例3、小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。

问：这本小说共有多少页？练习：1、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。

问：这个影剧院共有多少个座位？2、有一堆木材堆在一起，一共25层，第一层有3根，第二层有4根，下面每一层比上一层多1根，这堆木材共有多少根？3、时钟每逢几时就敲几下，每半点时钟敲1下。

问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？例5、计算（2+4+6+……+18+20）—（1+3+5+……+17+19）。

练习：1、2013—2012+2011—2010+……+3—2+1。

2、（1+3+5+……+79）—（2+4+6+……+78）。

3、100—98+96—94+92—90+……+8—6+4—2。

巩固练习：1、在12 与60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列。

2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，求这9 个数的和是多少？3、省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位……这个体育馆的12区共有多少个座位？第二讲求因数个数有的时候我们只需要知道某数的因数有多少而不需要找出这些因数具体是那些。

对一些数来说因数很少很容易就能一一列举出来，数一数有多少。

但是有些数因数比较多，一一列举的话比较麻烦，并且也不一定能够全都找出来。

在这种情况下，我们可以先分解质因数，在通过计算求出因数的个数。

一、求8和243的因数有多少个首先分解质因数8=2×2×2 243=3×3×3×3×3这样，把一个合数写成几个质数（也叫素数）相乘的形式，就叫做分解质因数。

几个相同的因数相乘，如2×2×2可以记作23，读作：2的3次方。

3×3×3×3×3记作35，读作：3的5次方。

注：任何一个大于0的数的0次方都等于1。

我们知道8的因数有4个：1,2,4,8。

可以写成1=20，2=21，4=22，8=23,8的因数个数刚好是3+1=4。

用同样的方法计算243的因数个数243=35，因数的个数为：5+1=6个。

二、求72的因数有多少因为72=8×9=23×32,所以72的因数有（3+1）×（2+1）=4×3=12个。

练习：1、144的全部因数有多少个？4500共有多少个因数？2、筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少。

共有多少种不同的拿法？3、自然数9的因数有1、3、9三个，自然数16的因数有1、2、4、8、16五个，那么， 9×16的因数共有多少个？4、已知自然数A只有两个因数，那么5A有多少个因数？5、有八个不同因数的自然数中，最小的一个数是多少？6、自然数A的所有因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是4，最大的是900，那么数A是多少？7、求不大于200的只有15个因数的所有自然数？8、在所有含九个因数的自然数中，最小的一个是多少？9、在100至300之间，只有三个因数的数是多少？10、写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。

11、恰好有6个因数的两位数共有多少个？12、有一个小于2000的四位数，它恰有14个因数，其中有一个质数的末位数是1，求此四位数？13、求不大于100的只有八个因数的一切自然数的和是多少？14、A、B两数都只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A数有12个因数，B数有10个因数，那么，A、B两数的和等于多少？15、在12345678987654321的所有因数中，除去它本身外，因数最大是多少？16、写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数是1，但两两均不互质，一共可以写出几组？17、144的全部因数之和是多少？360的全部因数之和是多少？18、右图中一共有多少个长方形（含正方形）？所有长方形（含正方形）的面积和是多少？（单位：厘米）（第十五届华杯赛初赛试题）恰有20个因子的最小自然数是。

(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 432第三讲同余问题知识概要：1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7）“”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。

）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数。

（6）如果，那么的差一定能被k整除同余问题解题口诀：“差同减差，和同加和，余同取余”1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取减3，表示为60n-3。

2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

【例题一】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？例2. 除以19，余数是几？例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？【练习】1. 求下列算式中的余数。

（1）（2）2. 6254与37的积除以7，余数是几？3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？【例题二】例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？例2. 在求51173526被7除的余数时，小明这样做：所以余数是5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？例3. 除以3的余数是几？为什么？【综合练习】1.（1）今天是星期日，再过天又是星期几？（2）求除以3所得的余数。

2.某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？3.有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？4.若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？5.（1）1309被一个质数除，余数是21，求这个质数；（2）1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。

6.（1）求2001×2000除以7的余数。

（2）求123×345+234×456除以11的余数。

7、（1）两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。

（2）两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。

8、（1）有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？（2）一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？9、（1）当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？（2）有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。

（3）有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？10、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。

11、（1）3867×4253＝1644□351，求□里的数。

（2）4937×6845＝3379□765，求□里的数。

数的整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。