定义若X的分布律为P（X=x i）=p i，i=1，2…
当级数绝对收敛时（即收敛）
就说是离散型随机变量X的说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，x n
则
（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，x n…
则
这时才要求无穷级数绝对收敛。
很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，
所以EX也叫X的均值。
4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。
1.两点分布
随机变量X的分布律为
分布EX
X～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ）p np
4.1.3下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。
定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X=x k}=p k，k=1，2，…。
令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的特别情形
4.1.4 连续型随机变量的期望
对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机
变量的期望给予定义，只需将和式中的x i改变x,p i改变
为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）
以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。
定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义
积分绝对
收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即
1.均匀分布
设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为
则
在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。
2.指数分布
设随机变量X服从参数为λ>0的指数分布，其概率密度为
解：在微积分中有
即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。
3.正态分布
设其概率密度为
则X的期望
E（X）=μ。
（不证）
上面三种情况列表如下（可以作为公式使用）
分布EX
X～U（a,b）
X～E（λ）
X～N（μ，σ2）μ
下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。
定理4-2 设X为连续型随机变量，其概率密度为f X（x），
又随机变量Y=g（X），则
当收敛时，有
4.1.5二维随机变量函数的期望
定理4-3 （1）若（X，Y）为离散型随机变量，若其分布
律为p ij＝P{X=x i,Y=y i}，
边缘分布律为
则
（2）其（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x,y）,f x（x）,f （X，Y）的概率密度与边缘概率密度，则
证明略。
定理4-4 设g（X，Y）为连续函数，对于二维随机变量
（X，Y）的函数g（X，Y），
（1）若（X，Y）为离散型随机变量，级数
收敛，则
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分
收敛，则
4.1.6期望的性质
期望有许多重要性质，利用这些性质可以进行期望的运算。
下面列举的这些性质对离散型随机变量和连续型随机变量而言，都可以利用随机变量函数的期望与二维随机变量函数的期
望公式加以证明。
性质4-1 常数的期望等于这个常数，即
E（C）=C，其中C为常数。
证明常数C作为随机变量，它只可能取一个值C，即
P{X=C}=1，所以
E（C）=C·1=C
性质4-2 常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机
变量X的期望的乘积，即
E（CX）=C·E（X）。
证明设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），则有
当X为离散型随机变量时，请读者自证。
∴有E（CX+b）=CEX+b
性质4-3随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即
E（X+Y）=E（X）+E（Y）。
证明不妨设（X，Y）为二维随机变量，其概率密度为f （x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函数，有
=E（X）+E（Y）。
这一性质可作如下推广：
E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2为常数。
结合性质4-2与性质4-3可证此性质。
一般地，设X1，X2，…,X n为n个随机变量，则有
E（X1+X2+…+X n）= EX1+ EX2+…+ E X n
E（C1X1+C2X2+…+C n X n）=C1EX1+C2EX2+…+ C n EX n
性质4-4两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）。
证明仅证连续型情况，因为X，Y相互独立，所以
f（x,y）=f X（x）f Y（y），
=E（X）E（Y）
由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有
E（X1X2…X n）=E（X1）E（X2）…E（X n）。
4.2.1方差的概念
定义4-3设随机变量的期望存在，则称
为随机变量X的方差，
记作D(X),即D(X)＝
称为X的标准差（或均方差）。
从随机变量的函数的期望看，随机变量X的方差D(X)即
是X的函数的期望。
由方差定义可知，当随机变量的取值相对集中在期望附近
时，方差较小；取值相对分散时，方差较大，并且总有
.
若X为离散型随机变量，其分布律为
则（4.2.1）
若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则
（4.2.2）
在计算方差时，用下面的公式有时更为简便；
即X的方差等于的期望减去X的期望的平方。
当X是离散型随机变量时，
(4.2.4)
当X是连续型随面变量时，
(4.2.5) 4.2.2常见随机变量的方差
1.0-1分布
设X的分布律为
其中0＜P＜1,则X的方差
D(X)=P(1-P).
因为
而
故
（2）二项分布
设X～B(n,p) 则有(不证)
（3）泊松分布
设X～P(),则有(不证)
（4）均匀分布
设X～U(a,b),则有
（5）指数分布
设
(6)正态分布
可以证明，若
下表是六种常见分布的期望和方差的结果。
要求大家熟记下面公式。
4.2.3方差的性质
性质4-5常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差
等于随机变量的方差，即
D(C)=0,D(X+C)=D(X).
性质4-6常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的
平方与随机变量方差的乘积，即，其中C为常数
性质4-7两个独立随机变量之和的方差等于它们方差之
和，即若X，Y相互独立，则
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
上式最后一项
E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－XE(Y)－
YE(X)+E(X)E(Y)]
=E(XY)－E(X)E(Y)－
E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)－E(X)E(Y)，
因为X与Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式为
零
因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)
注意：证明过程中得到有用结论
E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E(XY)－E(X)E(Y)
这一性质也可推广到n个相互独立的随机变量情况：若
相互独立，则
将这一性质应用于二项分布可知，二项分布随机变量X能
表示成n个相互独立的两点分布随机变量之和：
pq,k=1，2，…，n，则
4.3协方差与相关系数
对二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的期望和
方差之外，还需讨论X与Y之间相互关系的数字特征，本节主
要讨论这方面的数字特征。
4.3.1协方差
定义4-4设有二维随机变量（X，Y），且E（X），
E（Y）存在，如果
存在，
则称此值为X与Y的协方差，记，即
新课
定义（4.3.1）当（X，Y）为二维离散型随机变量时，其分布律为
则（4.3.
当（X，Y）为二维连续型随机变量时，为（X,Y)的概
（4.
协方差有下列计算公式：
（4.3.４
4.3.2相关系数
定义4-5若，称为X与Y 即
知识拓展：
练习或训练课后小结布置作业。