19.1.1 变量与函数一、教学目标1．核心素养：通过常量、变量学习，培养学生的符号意识，加强推理能力．经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，以培养学生数学抽象、直观想象．2．学习目标（1）从具体的事例中找出常量、变量．（2）理解常量、变量的相对性．（3）探索具体问题中的数量关系和变化规律，理解函数的概念以及自变量的意义．（4）会求函数自变量的取值范围．（5）感受数形结合的数学思想方法．3．学习重点（1）.常量、变量的意义．（2）.函数的概念，会求函数自变量的取值范围．4．学习难点（1）.常量、变量的相对性的理解（2）.求实际问题中自变量的取值范围．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：阅读教材P71----P72，了解变量与常量是如何规定的？在一个变化过程中，___________称为变量，___________为常量．任务2：阅读教材P73----P74，函数是如何定义的？函数的本质是什么？函数是刻画变量之间的数学模型。
函数是指在一个变化过程中，涉及到个变量，对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有确定的值与之对应。
所以，函数的定义．任务3：怎样求函数自变量的取值范围？函数值呢？结论：用数学式子表示的函数，自变量的取值范围应使式子有意义，即注意以下几点：① 若解析式是整式，则自变量取 ． ② 若解析式是分式，则自变量的取值 ．③ 若解析式是二次根式，则自变量的取值 ． 注意实际问题中的自变量的取值范围：（1）应符合实际意义；（2）应使所列数学式子有意义．结论：求函数值的方法 ．2．预习自测1.某种报纸每份2元，购买x 份此种报纸共需y 元，则y ＝2x 中的常量是 ，变量是 ．2.下列图象中表示 y 是x 的函数的( )A. B. C. D.3.在函数11-=x y 错误!未找到引用源。
中，自变量x 的取值范围是 ( ) A. x ≥1 B .x ≠1 C. x ≥－1且 x ≠1 D.全体实数 预习自测1．2；x,y 2．C 3．B（二）课堂设计1．知识回顾（1）基本等量： 路程=速度•时间 矩形的周长=2（长+宽）圆面积公式：2r S π=（2）分式的分母不能为0.（3）二次根式的被开方数是非负数。
2．问题探究问题探究一 如何确定关系式的常量、变量？活动一 常量与变量 若球体的体积为V ，半径为R ，则公式334R V π= ,其中的变量是 ，常量是 ．解析：判定常量与变量的关键是判断一个变化过程中，哪些量的数值发生了变化，显然π34是常量，V 与R 是变量，3R 的指数3与变量和常量无关． 活动二 常量、变量的相对性▲设路程为 s ，速度为 v ，时间为 t ，在关系式 s ＝ vt 中，下列说法正确的是( )A ．当 s 一定时， v 是常量， t 是变量B ．当 v 一定时， s 是变量， t 是常量C ．当 t 一定时， t 是常量， s 、 v 是变量D ．当 t 一定时， v 是变量， s 是常量解析：常量与变量是相对于变化过程而言的，可以相互转化．故本题选C ． 问题探究二 怎样判定一个关系式是否是函数？★活动一 函数实质 某一个变化过程中，有两个变量，它们是互相联系的，当其中一个变量取一定的值时，另一个变量就 ，函数的实质是 ．活动二 判定函数 下列式子中，不是函数的是（ ）A. x y =B. 2x y =C. )0(≥=x x yD.)2(2≥-±=x x y解析：函数的概念的题目要紧扣定义，函数值必须是唯一的，否则不是函数．选D.问题探究三 如何求函数自变量的取值范围？★▲活动一 解读“有意义”函数自变量的取值范围是指使函数的关系式有意义的自变量的取值．（1）当函数的解析式是整式时，自变量的取值范围是任意实数；（2）当函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；（3）当函数的解析式是二次根式时，自变量必须取非负数；（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义．▲活动二 典例分析 应用举例等腰三角形的腰长为x ，底边长为y,周长为10，写出y 与x 的函数关系式，并求x 的取值范围．解析：由三角形的周长得出函数关系式，显然是整式的形式x y 210-=，但作为三角形的的边x ， y,满足是正数，且符合三角形的三边关系．所以0>x ，0>y ，y x x >+即满足：0>x ，0210>-x ，x x x 210->+答案：525<<x 3．课堂总结【知识梳理】（1）常量、变量是相对的，在一定情况下，可以转化，关键是看在变化过程中，其值是否发生变化．（2）函数的本质是单值对应．（3）函数自变量的取值范围就是使式子和实际问题有意义．【重难点突破】（1）本节内容是关于函数的最基础的知识，对后续学习内容，打好基础至关重要。
了解变量与常量，理解函数的定义，会函数自变量的取值范围，为后面研究具体的初等函数做准备．（2）求函数自变量的取值范围既要考虑数学式子本身有意义，即分母不等于0，二次根式的被开方数非负，又要考虑实际问题的实际意义。
出现的情况都要考虑．4．随堂检测1．某人以5千米/时的速度步行，所走的路程S=5t ，在这个过程中，下列判断中错误的是 （ ）A ．S ，t 是变量B ．t 是变量C ．5是常量D ．5，S 是常量 （知识点：常量与变量）【参考答案】D.2.用总长为100 m 的篱笆围成长方形场地，设此长方形的面积为 S (m 2)，一边长为 L (m)．下列说法正确的是( )A.L 是常量B.S 是常量， L 是变量C.100、S、L是变量D.100是常量，L、S是变量（知识点：常量与变量）【答案】D3. 如图所示的曲线中，不能表示y是x的函数的是（）．A. B. C. D.（知识点：常量与变量；数学思想：数形结合）【答案】D4．小军用40元钱去买单价是6元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（）A．Q=6x B．Q=6x-40 C．Q=40-6x D．Q=6x+40（知识点：函数关系式）【答案】C5.若y与x的关系式为y=10x-6，当x=1时，y的值为（）A．5 B．10 C．4 D．-4（知识点：函数值）【答案】C6.函数2y x=-x的取值范围是（）A. x≥2B. x≠2C. x>2D. x<2（知识点：函数自变量的取值范围）【答案】A【解析】根据二次根式的被开方数非负，故选A7. 油箱中有油20kg，油从管道中匀速流出，50min可流完，油箱中剩油量M（kg）与流出时间t(min)的函数关系式为（）A．M=20-25t B．tM5220-= (0≤t≤50)C．M=20-15t(0≤t≤50) D．M=20-4t(0≤t≤50)（ 知识点：函数自变量的取值范围）【答案】B【解析】根据50min 可流完油箱中的油20kg ，故流速52kg/min, 剩油量M 与流出时间t(min)的函数关系式,同时注意自变量的取值范围，故选B19.1.1变量与函数第二课时课题说明：本节课讲授的是人教版八下第19.1.1正比例函数的第2课时的内容．在第1课时学习了正比例函数概念的基础上，研究正比例函数的图象和性质．教学目标：1、知识目标：(1)探究正比例函数图象的特征，会按条件正确画出正比例函数图象；(2)理解正比例函数的性质．2、能力目标：(1)通过对正比例函数图象特征(直线形)的观察和分析，促进学生由感性思维向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力；(2)通过对于正比例函数性质(增减性)的讨论，增强学生“数形结合”的观念；(3)由正比例函数y＝x图象的探究，推广到正比例函数y＝kx图象的探究，使学生体会由“特殊”到“一般”的数学思想方法，提高他们的概括能力、抽象能力；(4)通过动手绘制图象，提高学生的操作能力．3、情感目标：(1)体会数学学习是一个充满探索的过程，多问几个“为什么？”会不断地激发学生的求知欲，使他们或多或少地获得成功的喜悦．(2)通过对正比例函数图象特征的解释、分析，使学生体会理性思维的魅力．教学重点：1、正比例函数图象的特征和画法；2、正比例函数的性质．教学难点：正比例函数图象特征(直线形)的分析说明．教学流程：1、切入课题，研究最简单的正比例函数y＝x的图象(1)师生共同分析正比例函数y＝x的自变量和函数值的取值范围．(2)要求学生按列表、描点、连线三个步骤，完成正比例函数y＝x的绘制．(要求所有学生都要动手去画，一个学生在黑板上画，以便为下面分析图象特征做准备．)(3)启发学生观察图象的特征，引导学生思考：y＝x的图象为什么是一条直线？你能解释说明吗？(目前，学生应有两个途径可解决这个问题，一个是利用在第11章中学过的角平分线性质及其逆命题，另一个是选取描点时画出的连续三个点，说明以这三点连线构成的是一个平角，也即这三个点在同一条直线上．)2、研究正比例函数y＝－x的图象启发学生类比y ＝x 图象，思考y ＝－x 图象，通过比较异同，归纳出y ＝－x 图象的形状．(可先不必画出，等到后面学习过两点画正比例函数图象时一并解决．)3、研究正比例函数y ＝2x 的图象(1)列表、描点、连线，画出图象；(2) 观察图象的特征，提出y ＝2x 的图象为什么也是一条直线？(启发学生：“显而易见不能用角分线的性质及其逆命题解释了，那该怎样说明呢？”教师要视课堂上的进展酌情而定：若前面处理y ＝x 图象是利用证明平角解决的，则学生已经积累了经验，得到了暗示；若前面是用角平分线的性质解决的，则教师应及时给出提示，点播思路)4、研究正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象由y ＝2x 的图象向y ＝kx (k ≠0)的图象推广．(因为有难度，可由教师进行点拨式的讲解，不过多深入，点到为止，只追求开拓学生视野，体会理性思维的魅力)5、正比例函数图象的画法(1)归纳：y ＝kx (k ≠0)的图象是过点(0，0)和点(1，k )的直线；(2)画y ＝－x ，y ＝－2x ，y ＝21x ，y ＝－21x 的图象．6、研究正比例函数y ＝kx (k ≠0)的性质(1)从图象直接观察直线从左向右的上升或下降趋势，以及在各象限的分布情况；(2)归纳自变量从小到大变化时相应的函数值增加或减小的变化规律，分析图象在不同象限分布规律的原因．7、小结，结束教学．。