2x + 3
d (x2 + 3x −17)
就比如： ∫ x2 + 3x −17 dx = ∫ x2 + 3x −17
2.4 当分母为 x4 +1时，有如下几个结论：
( ) 1+ ∫ ∫ ∫ ( ) x4
x +
2
1
dx
→
1+ x−2 x2 + x−2
dx
→
d x − x−1 x − x−1 2 + 2
1.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型
∫ ∫ 1 A + sin2 x dx 或
cos2 x
A
+
sin
2
dx x
右式可通过变形，分离常数化为左式。而
∫
A
+
1 sin
2
x
dx
→
∫
sec2 x Asec2 x + tan 2
x
dx
→
∫
(A
d tan x
+ 1)tan 2 x
+
A
→
→
1
A(A
+
1)
⎛ arctan⎜⎜
a c
x
⎞ ⎟⎟⎠
【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】
[ ] ∫ sec3dx = 1 sec x tan x + ln sec x + tan x
另外，
2
最好也可以记下来，因为经常要用到，并且也不难记，括号里面是
sec x 的原函数和导数之和。
一、三角函数篇
原则是：尽量凑微分，避免万能代换。
1.1、 正余弦型
当 sin x和cos x 的次数之和为偶数时，又可以想到分子分母同除以
x cos n ，将分母化为正切，分子凑出 d tan x
如
∫
sin
x
1 cos3
dx x
→
∫
sec4 xdx tan x
→
∫
tan2 x + tan x
1d
tan
x
当 分 子 含 有 sin x cos x时 ， 也 可 以 想 到
∫ cos4 x + sin 4 x dx
(2) cos2 x − sin 2 x
1.2、正切正割型
1.2.1、通常通过分子分母同乘上 cosn x 化为上
述正余弦型，不作详细介绍。
如
sec x
cos x
d sin x
∫ A tan2 x + B dx → ∫ Asin2 x + B cos2 x dx → ∫ ( A − B)sin2 x + B
1.1.7 有理代换
R(sinθ ,− cosθ ) = −R(sinθ , cosθ )或 当被积函数满足： R(- sinθ , cosθ ) = −R(sinθ , cosθ ) 时，
可以用 t = sinθ或t = cosθ 如：
∫1
dx ⎯t⎯=s⎯in x→
(5 + 4sin x) cos x
1.2.2、分母正切一次带常数型
∫ ∫ 1 dx ⎯令⎯t=⎯θ⎯−x→ −
1
dx
A + tan x
A + tanθ − tan t
1+ tanθ tan t
∫ 其中tanθ = 1
⎯⎯⎯⎯⎯A→ 得到 −
1+ tanθ tan t dx
A + tanθ
∫ ∫ → − A + tan t dx → − A − 1 tan tdt
象。
∫ dx ⎯⎯x2 =t⎯ant→ 1 ln 1 + x4 −1 + C
（1） x 1 + x4
2
x2
(2)
( ) ex 1 + ex dx ⎯e⎯x =s⎯int→ arcsin ex − 1 − e2x + C
∫ 1− e2x
(3)
∫ 1 1− x dx ⎯⎯x=c⎯ost→arccos x + ln x − ln(1+ 1− x2 ) + C
倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要），以便于积分。对
∫ 于 形 如
(x − d )n
1 ax 2
+
bx
+
dx c
的
积
分
，
可
作
倒
代
换
，
令
x
−
d
=
1 t
化简。
∫ ∫ 1
x−1= 1
⎯⎯⎯u →
−
1
2 −
(2u +1) 3 d (2u +1)
(x +1)2 (x − 2)4
2
2.3 有些时候，不要一看到就分项，多观察一下。
=
1 2
⎛ arctan⎜⎜⎝
x
2 −1 2x
⎞ ⎟⎟⎠
+
C
x2 −1
1− x−2
( ) d x + x−1
∫ ∫ ∫ ( ) x4 +1 dx → x2 + x−2 dx → x + x−1 2 − 2
1 x2 − 2x +1
= ln
+C
2 2 x2 + 2x +1
∫ 请用上述结论求解
x
1 4+
∫
(5
+
4t
dt
)(1+
t
)(1
−
t
)
⎯裂⎯⎯项→
∫
⎡ ⎢ ⎣
-16
9(5 + 4t
)
+
1
2(1 +
t
)
+
1
18(1 −
t
)⎥⎦⎤dt
1.1.8、其他灵活代换
就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如
1 sin 2 x cos 2 x 时，可以把分子变成 sin 2 x + cos 2 x 并拆开。
x−a b−x
2 arcsin x − a + C b−a
∫ dx
x −1= 1
⎯⎯⎯t → arcsin
x−2
+C
（7） (x −1) x2 − 2
2 x −1
(此题也可以用三角代换解决)
（8）
e3x + ex
ex + e−x
d (ex − e−x )
∫ ∫ ∫ e4x
−
e2x
dx +1
→
e2x
A2 +1
A2 +1 A2 +1
1.2.3、有理代换
当被积函数满足 R(− sinθ ,− cosθ ) = −R(sinθ , cosθ ) 时，可
以用 t = tan x
二、分式函数篇
2.1、关于裂项（避免待定系数）
逐
项
裂
开
即
可
(x
−
A)(x
1 −
B)(x
−
C)
=
C
1 −
A
⎡
⎢ ⎣
(x
−
1 A)(x
x)2
dx
→
a∫
A
cos x + B sin
x
dx
+
b∫
A
+
1 B sin
x
dx
其中，a
=
A2
B − B2
,b
=
A2
A − B2
左式凑微分，右式为 1.1.2 题型。
1.1.6 连续几个一次项相乘型。
∫ 如： sin x sin 3x sin 5xdx
用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。 三个积化和差积化和差公式：
+
e−2x
dx −1
→
(ex − e−x )2 + 1
（9）
∫ ∫ ⎜⎛1+
x
+
1
⎟⎞e
x
+
1 x
dx
→
x+ 1
ex
+
(x −
1
)e
x
+
1 x
dx
⎝
x⎠
x
x+ 1
x+ 1
∫ → (xe x )'dx = xe x
∫ 还有，在求不定积分
xe x ex −
2
dx
时，令
t
=
ex − 2 时，
得到 e x = t 2 + 2 直接两端微分，就得到 e x dx = 2tdt 把整个
x 1+ x
∫ (4)
1− ln x (x − ln x)2
x=1
⎯⎯t →
x
x − ln x
+C
(5)
∫ dx
⎯⎯x +⎯x+⎯1⎯=t →
1+ x + x +1
( ) x − 1 ln
x+
x +1 + x −
x(x +1)
+C
2
2
2
(6)
∫ ( )( ) dx
⎯x⎯−a=⎯(b−⎯a)si⎯n2 t，⎯b−⎯x=(b⎯−a)⎯co⎯s2 t →
1
dx
。
另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了