不定积分一、原函数定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

2211)1ln([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。

注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。

二、不定积分定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。

如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数）三、不定积分的几何意义图 5—1设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为)(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由)(x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ．在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线．四、不定积分的性质（线性性质）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰()() kf x dx k f x dx =⎰⎰k （为非零常数）五、基本积分表∫ a dx = ax + C，a和C都是常数∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠ 1∫ e^x dx = e^x + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sinx dx = - cosx + C∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C∫ ta nx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C∫ sec^2(x) dx = tanx + C∫ csc^2(x) dx = - cotx + C∫ secxtanx dx = secx + C∫ cscxcotx dx = - cscx + C∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C ∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C六、第一换元法（凑微分）设)(u F 为)(u f 的原函数，即)()(u f u F =' 或 ⎰+=C u F du u f )()( 如果 )(x u ϕ=，且)(x ϕ可微，则)()]([)()()()()]([x x f x u f x u F x F dxdϕϕϕϕϕ'='=''= 即)]([x F ϕ为)()]([x x f ϕϕ'的原函数，或)()(])([])([)]([)()]([x u x u du u f C u F C x F dx x x f ϕϕϕϕϕ==⎰⎰=+=+='因此有定理1 设)(u F 为)(u f 的原函数，)(x u ϕ=可微，则 )(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=' (2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

()[()]()[()]()[()]u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ==='⎰⎰⎰11()()()[()]u ax b f ax b dx f ax b d ax b f u du a a =++=++=⎰⎰⎰用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

常用凑微分公式1()dx d ax b a =+ 21()2xdx d x =211()dx d x x =- 1ln dx d xx =dx d =x x e dx de = cos sin xdx d x = sin cos xdx d x =-221sec tan cos dx xdx d x x == 221csc cot sin dx xdx d x x ==- 21arctan 1dx d x x =+arcsin d x =221dx x a -⎰111()2dx x a x a a =--+⎰111()()2d x a d x a x a x a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=--+-+⎰⎰ 1(ln ln )2x a x a Ca=--++ 1(ln ln )2x a x a Ca =--++221dx a x -⎰1ln 2x a C x a a +=+-配方x a =arcsin (0)x C a a =+>221dx a x +⎰221[1()]dx x a a =+⎰211()1()x d x a a a=+⎰1arctan x C a a =+七、第二换元法定理2 设)(t x ψ=是单调的可导函数，且0)(≠'t ψ，又设 )()]([t t f ψψ' 具有原函数，则[])()()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ=⎰⎰'=(2-2)其中)(x t ψ=为)(t x ψ=的反函数。

公式(2-2)称为第二类换元积分公式。

例1 求 dx x a ⎰-22， )0(>a解：令 t a x sin =，22ππ≤≤-t ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，因此有Cx a x a x Ca x a a x a a x Ct t a t Ct a t dt ttdt tdta t a dx x a +-+=+-+=++=++=+===-⎰⎰⎰⎰222222222222222221arcsin 2a 2arcsin 2a cos sin 22a 2sin 42a22cos 1a cos a cos cos例2 求 ⎰+22xa dx ，)0(>a解：令 t a x tan =，22ππ≤≤-t ，则t a x a sec 22=+，tdt a dx 2sec =，因此有12222222||ln ||ln |tan sec |ln sec sec sec 1C a x x C ax a x a Ct t tdttdt a ta x a dx +++=+++=++===+⎰⎰⎰其中a C C ln 1-=。

用类似方法可得 C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++八、分部积分法设 )(x u u =，)(x v v =，则有v u v u v u '+'=')( 或 dv u du v v u d +=)(两端求不定积分，得⎰⎰⎰'+'='dx v u dx u v dx v u )(或 ⎰⎰⎰+=dv u du v v u d )(即⎰⎰-=du v v u dv u (3-1) 或 ⎰⎰'-='dx u v v u dx v u (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型例1． 求 ⎰xdx x cos解： ⎰⎰=x xd xdx x sin cosCx x x xdx x x ++=-=⎰cos sin sin sin例2． 求 ⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22Ce xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x xxxx x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u ，其余部分取为dv 。