3112 311
200
= 312 312 020
1 1 0
1 1 0 0 0 2
13 3 5
311 200
= 14 2 5 3 1 2 0 2 0
0 0 1
1 1 0
002
82 4 = 11 -1 3
1 1 3
例：已知f(A)= A2E
(A)=A+5E
(A )f(A )=f(A )(A )?
4、方阵的多项式：
H是对称矩.阵
HH T =E 2X X T(E 2X X T)
=E(E2XXT) 2XXT(E2XXT)
=E2XXT2XXT +4XXTXXT
4X(XTX)XT =4XXT
=E4XXT +4XXT
=E.
五、方阵的行列式 determinant
定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方
阵 A 的行列式，记作|A|或detA.
第5讲-矩阵的运算
2、单位矩阵性质
1 0 0
E = 0 1 0
EA=AE=A
注意E阶数
0 0 1
ImAmn =Amn
单位阵与任意矩阵相乘
AmnEn =Amn
(只要有意义)结果不变
类似于数1在数的乘法中的作用。
3、方阵的幂：
对于方阵A及自然数k
只有方阵 才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
例3 设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=2,则
2AT =( ) A=( ) AA=( )
解： ||A|A|= |2A| =(2)3|A| =(2)3(2) =16
32 例4 设 A= 5 4
7 -4 B= -5 3
21 C= 3 4
求 (1) |ATB2C|
(2) | (3BBT)2|
解 (1) | ATB2C|= | AT | . | B2 |. | C | =
| A| . | B | 2 . | C | =
3 2 ×7
-4
2 ×
2
1
5 4 -5 3 3 4
=2×12 ×5=10
(2) | (3BBT)2| =|3 BBT | 2 = (32| BBT |)2
= (32 | B |.|BT |)2 =81
A 六、 n阶方阵的伴随矩阵 *
a11 a12 ... a1n
设 f(x)=a m xm + L+a 1x+a 0
若A为n阶方
阵，则 f ( A )
为x的m次多项式，则称
f(A )=am A m+La 1A +a0E
也为n阶方阵
为方阵A的m次多项式。
性质：
（1) (A )f(A )=f(A )(A )
(2) A的几个多项式可像数x的多项式一样相乘
或分解因式
(A 3E )(A +2E )=A2A6E
解法2 (AB)T =BTAT
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3=14 13.
1 3 11 2 3 10
2、A是对称阵 AT = A
例如A=162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等
例 设A,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？
例1 A= 1 2 34
12 |A|=detA= 3 4 = -2
运算律P38
(1) AT = A; (2) AB=AB;
（3） | lA|=ln |A|
n为方阵的阶数
运算律P38
1、|AB| =|A|·|B|
方阵积的行列式=行列式的积
A,B求行列式有意义 A B C D=A•B•C•D (5次作业T3)
A+B，A-B ，AB, kA
例2 设列矩阵 X = x 1 ,x 2 , ,x n T 满足 XTX=1,
E 为 n阶单,位 H=E 矩 2X阵 T X ,证H 明 是对称
阵 ,且 HTH =E.
证明 H T=E 2 XTX T=ET2XXT T =E2 XXTT=E2(XT)TXT=E2X XT=H
规定 (Ann)0 =En
性质：(1) ArAs=Ar+s (2) (Ar)s=Ars
思考：下列等式在什么时候成立？
(AB)k = Ak Bk (A+ B)2 = A2 + 2AB + B2 (A+ B)(A B) = A2 B2
A、B可交换时成立
AB=BA
4、方阵的多项式：
设
f(x)=a m xm + L+a 1x+a 0
(1) (AT)T= A (2) (A+B)T= AT+BT
(3) (kA)T= kAT (4) (AB)T = BTAT
注意矩阵的次序
(A1A2A3….An)T =(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T
例 已知
1 7 1
2 0 1 A=1 3 2,
B=4 2 2 0
3, 求 ABT.
1
a13
a23
a33
la12 la22 la32
则
la11 lA= la21
la31
la12 la22 la32
la13 la23 la33
la13
a 11 a 12 a 13
=l la23
3 a 21
a 22
a 23 =l3 |A|
la33
a 31 a 32 a 33
例2 设矩阵A为八阶矩阵 |lA| = l8 |A|
A k = AAgggA =A•AL•A = |A| k
k个A
尽管ABBA，但
注： |AB| = |BA|
k个 |AB| =|A|·|B| |BA| =|B|·|A|
n为方阵的阶数
2、 | lA|=ln |A|
例1
a11 a12 A = a21 a22
a31 a32
la11| lA|= 源自a21la31为x的m次多项式，则称 f ( A )
f(A )=am A m+La 1A +a0E
为方阵A的m次多项式。
311
例：已知f(x)=x2x2，A= 3 1 2 ，求f(A)
1 1 0
f(A)= A2A2E
311
已知f(x)=x2x2，A= 3 1 2 ，求f(A)
1 1 0
解： f(A) = A2A2E
A2A2E =(A2E)(A+E)
四、矩阵的转置P36
第1行变为第1列，第2行变 为第2列,…第n行变为第n列
定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，
叫做 A 的转置矩阵，记作 AT .
例:
1 2 2
A
=
4
5
8
,
1 4
AT
=
2
5
;
2 8
B=18 6,
BT
=
18
6
.
1、转置的运算律P36
A
=
a
21
a22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
an2
...
a
n
n
将A中所有元素 a i j 都改为它的代数余子式 A i j 后，再转 置，所得矩阵称为A的伴随矩阵，记做 A * ，即