二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1，所以：
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数：
q0 cos

2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin

Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos

2
(li0 mj0 bk0 ) sin

2

2
u R sin

2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记：
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系
初始时刻A位置向OA=r,（该位 置向量的空间位置，实际上描述 了刚体的空间角位置）经过时间 t后位置向量处于OA'=r'。刚体从 A位置转到A'位置的转动可等效 成绕轴u(单位向量)转过θ角一次 完成。
OO ' (r u )u O ' A r OO' r (r u )u O' B u O' A u r (r u )u u u r O' A' O' A cos O' B sin r ' OO'O' A
r ' , r 的关系可化为：
0 n m U n 0 l 0 m l
r ' ( I 2U sin
R

2 2 2 2 D I 2U sin cos 2 sin U U 2 2 2 R R r ' Dr
cos

2 sin
一.四元数的基本概念
划去M(P)的第一行和第一列得Vp称为M(P)的核：
p0 VP p3 p2
同理， VQ 为M'(Q)的核
'
p3 p0 p1
p2 p1 p0
q0 ' VQ q 3 q2
q3 q0 q1
q2 q1 q0
结论： R Q cos u sin 1. 四元数 描述了刚体的定点转动（描述了机体坐标系 2 2 的定点转动），即当只关心b系相对R系角位置时，可认为b系是由R系 经过无中间过程的一次性旋转形成的，Q则包含了旋转的全部信息：u R 为旋转轴和旋转方向，θ为转过的角度。 与欧拉角比较：也描述了刚体的转动，非一次性旋转完成，中间过程不同 ，姿态矩阵不同。 2.四元数可确定b系至R系的坐标变换矩阵：
R b

2
cos

2
2 sin

2
2

2
U U

0 1 R Cb 1 2 cos n sin 2 2 1 m sin 2 2 2 2 ( m n ) sin 2 2 lm sin 2 2 l n sin 2 2 lm sin 2
T31 ) T33
o arct an( 12 )
T22 ->0 ->0 + + T12 + + + (度) 90 -90 o o o+180 o-180
T T22
二.四元数与姿态阵之间的关系
o + + T33 + + (度) o o o-180 o+180
二.四元数与姿态阵之间的关系
三.欧拉角与四元数比较
分析：万向节死锁是欧拉角表示物体姿态的一个很大缺陷。
1 2(q2 2 q3 2 ) 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q1q3 q0 q\ 2 ) 2 2 CbR 2(q1q2 q0 q\3 ) 1 2(q1 q3 ) 2(q2 q3 q0 q\1 ) 2(q q q q ) 2(q q q q ) 1 2(q 2 q 2 ) 2 3 0 \1 1 2 1 3 0 \2
R b
二.四元数与姿态阵之间的关系
欧拉角表示的姿态矩阵求欧拉角：
cos cos sin sin sin b Cn sin cos sin cos cos sin sin
cos sin sin cos sin cos cos sin sin s cos cos sin
一.四元数的基本概念
1.四元数定义： 四元数是由四个元构成的数：
Q(q0 , q1 , q2 , q3 ) q0 q1i q2 j q3 k
i i 1, j j 1, k k 1 i j k, j k i ,k i i j i k , k j i , i k j
先绕物体坐标系x轴(Xl)旋转30度，此时的物体坐标系已经发生变化。
三.欧拉角与四元数比较
然后再绕Yl轴旋转90度，此时，你会发现Zl轴已经和参考坐标系X轴共轴。
三.欧拉角与四元数比较
根据坐标欧拉角坐标（30,90,-40），此时等同于（70,90,0）。。
一.四元数的基本概念
矩阵形式：
r0 p0 r p 1 1 r2 p2 r3 p3 r0 q0 r q 1 1 r2 q2 r3 q3
p1 p0 p3 p2 q1 q0 q3 q2
b.除法：求逆。
一.四元数的基本概念
c.乘法 注：满足分配律，结合律，不满足交换律
P Q ( p0 p1i p2 j p3 k ) (q0 q1i q2 j q3 k ) ( p0 q0 p1q1 p2 q2 p3 q3 ) ( p0 q1 p1q0 p2 q3 p3 q2 )i ( p0 q2 p2 q0 p3 p1 p1 p3 ) j ( p0 q3 p3 q0 p1q2 p2 q1 )k r0 r1i r2 j r3 k
arcsin(T32 )
T11 T12 CbR T21 T22 T31 T32 T13 T23 T33
T31 o arct an( ) T33 T12 o arct an( ) T22
三.欧拉角与四元数比较
1.欧拉角万向节死锁
三.欧拉角与四元数比较
二.四元数与姿态阵之间的关系
参考坐标系R,坐标轴 x0 , y0 , z0 坐标轴方向单位向量 i0 , j0 , k 0 。 坐标系b与刚体固联，坐标轴 x, y, z ，坐标轴方向单位向量 i, j , k 。 初始时刻b系与R系重合，刚体相对于R系做定点转动，定点为O。
如下图，A点转动到A'点。
d.指数式： Q e e.矩阵式：.
q0 q Q 1 q2 q3
一.四元数的基本概念
3.四元数的大小——范数
2 2 2 2 || Q || q0 q1 q2 q3 若||Q||=1,则为规范化四元数
4.四元数的运算 a.加法与减法：对应元相加减。
sin cos sin cos cos
b Cbn Cn
T
T11 T12 T13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
二.四元数与姿态阵之间的关系
arcsin(T32 ) o arct an(
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
4.如果将向量 r R , r b 看做零标量的四元数，则有以下关系，其中Q为R系 至b系的旋转四元数：
r R Q rb Q *
0 r Q r Q* M (Q) M ' (Q*) b CbR r b r
二.四元数与姿态阵之间的关系
根据上面的式子，能找到 r ' , r 的关系如下：
r ' r u r sin (1 cos )u (u r )
刚体的旋转还有各个向量都是相对于R系：
r ' R r R (u r ) R sin (1 cos )[u (u r )]R
b.复数式： Q q0 q1i q2 j q3 k 可视为一个超复数， * 其共轭复数: Q q0 q1i q2 j q3 k Q*称为其共轭四元数。
c.三角式：
Q cos u sin 2 2
u 2