四元数小波变换
Ｓelesnick 【11】提出，基于简单阈值许多真实信号的小波系数稀疏度能够优化，尽管如此，小波变换仍然存在四种基本的缺点：
振荡——奇异点周围的小波系数更易发生积极或消极的振荡，这使奇点提取和信号建模困难。

平移敏感性——信号或图像微小的平移可能会使小波系数发生波动，从而造成混乱。

混叠性——在重建信号中，任何小波处理将打破正向和反向变换之间的平衡导致假象。

缺乏方向性——由于缺乏方向选择性，常见小波的构建结果会产生棋盘状图案。

为了解决上述问题, Ｓelesnick 【11】基于双树框架设计了一种复小波，该框架有两个正交小波，一个作为复小波的实部，一个为虚部。

因为实与虚小波是希尔伯特变换(HT)对，所以复小波变换(CWT)的系数大小是近似平移不变的但有大量冗余。

CWT 是DWT D 2的一般化，同时QWT 是CWT 的一种，从而为D -2信号提供了一个更丰富的尺度空间分析。

与DWT 相反，它是近似于平移不变的并给图像提供一个幅值-相位局部分析。

为了方便进一步的讨论,我们简要地回顾一些四元数和QWT 构建的基本思想。

四元数代数H 是哈密尔顿在1843年发明的，它是复代数的一般化。

{}R d c b a dk cj bi a q ∈+++==H ,,, （8）
其中正交虚数k j i 和,满足以下规则：
j ki i jk k ij k j i ===-===,,,1222
四元数的另外一个表述是
ψθφk j i e e e q q = （9）
其中()[)[)[]4,42,2,,,ππππππψθφ-⨯-⨯-∈。

它是利用一个幅值和三个称为相位的角度。

它的计算公式可以参考Bulow
【4】。

四元解析信号是由希尔伯特变换()HT 的部分(H 1,H 2)和总的(H T )定义的。

()()()()()()()()y x f kH y x f jH y x f iH y x f y x f T A ,,,,,21+++= ()10 我们从实可分离尺度函数ϕ和母小波D V H ψψψ,,开始，可分离就是满足
()()()y x y x h h ψψψ=,。

根据四元解析信号的定义，QWT ，即D 2小波分析可以构建如下。

()()()()()()()()y x k y x j y x i y x g g g h h g h h ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++= ()()()()()()()()y x k y x j y x i y x g g g h h g h h H ϕψϕψϕψϕψψ+++=
()()()()()()()()y x k y x j y x i y x g g g h h g h h V ψϕψϕψϕψϕψ+++= ()11
()()()()()()()()y x k y x j y x i y x g g g h h g h h D ψψψψψψψψψ+++=
沿行或列D 2HT 类似于D 1HT 。

考虑到D 1希尔伯特小波函数对()h g h H ψψψ=,和尺度函数对()h g h H ϕϕϕ=,,D 2小波分析也是可分离的。

每一个QWT 的子带可以被看作是与图像狭窄波带部分有关的解析信号。

QWT 的幅值q 具有近似平移不变的特性，能代表每个频率子带在任何空间位置的特征并能用三个相位描述那些结构特征。

这里使用的更多QW
细节可参考该文献【6】。