第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ,2(,)F x y 及3(,)F x y .(1)22221x y a b +=;(2)22221x y a b -=;(3)22y px =;(4)223520;x y x -++=(5)2226740x xy y x y -+-+-=.解:(1)22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;121(,)F x y x a =221(,)F x y y b=3(,)1F x y =-;(2)22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-;3(,)1F x y =-.(3)0001000p A p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;1(,)F x y p =-;2(,)F x y y =;3(,)F x y px =-;(4)51020305022A ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;15(,)2F x y x =+;2(,)3F x y y =-;35(,)22F x y x =+;(5)1232171227342A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭;11(,)232F x y x y =--;217(,)22F x y x y =-++;37(,)342F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.(1)550x y --=(2)220x y ++=;(3)410x y +-=;(4)30x y -=;(5)2690x y --=.提示:把直线方程代入曲线方程解即可,详解略(1)15(,),(1,0)22-;(2⎝⎭,⎝⎭;(3)二重点(1,0);(4)11,26⎛⎫⎪⎝⎭;(5)无交点.3. 求直线10x y --=与222210x xy y x y -----=的交点. 解:由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值,使得(1)直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点; (2)直线1,{x kt y k t=+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点; (3)10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点;(4)1,{1x t y t=+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解:详解略.(1)4k <-;(2)1k =或3k =(3)1k =或5k =;(4)4924k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的(1)22230xxy y x y ++++=;(2)22342250x xy y x y ++--+=;(3)24230xy x y --+=.解:(1)由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的; (2)由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的; (3)由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.(1)22224630x xy y x y -+--+=;(2)22442210x xy y x y -++--=;(3)2281230y x y ++-=;(4)2296620x xy y x y -+-+=.解:(1)因为2111012I -==≠-,所以它为中心曲线; (2)因为212024I -==-且121241-=≠--,所以它为无心曲线; (3)因为200002I ==且004026=≠,所以它为无心曲线; (4)因为293031I -==-且933312--==-,所以它为线心曲线; 3. 求下列二次曲线的中心.(1)225232360x xy y x y -+-+-=;(2)222526350x xy y x y ++--+=;(3)22930258150x xy y x y -++-=.解:(1)由510,3302x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313(,)2828-; (2)由5230,2532022x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-; (3)由91540,15152502x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩知无解,所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时,二次曲线226340x xy ay x by ++++-=(1)有唯一中心;(2)没有中心;(3)有一条中心直线.解:(1)由330,2302x y b x ay ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩知,当9a ≠时方程有唯一的解,此时曲线有唯一中心;(2)当9,9a b =≠时方程无解,此时曲线没有中心;(3)当9a b ==时方程有无数个解,此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 有渐进线,那么它的两个渐进线方程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次曲线的中心.证明:设(,)x y 为渐进线上任意一点,则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--,所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列二次曲线的渐进线.(1)226310x xy y x y --++-=;(2)2232340x xy y x y -++-+=;(3)2222240x xy y x y ++++-=.解:(1)由1360,2211022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由2260X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-,所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y += (2)由310,22332022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由22320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =,所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=(3)由10,10x y x y ++=⎧⎨++=⎩知曲线为线心曲线,.所以渐进线为线心线,其方程为10x y ++=.7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==,成为无心曲线的充要条件是230,0I I =≠. 证明:因为曲线是线心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==;为无心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=. 证明:设以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线为 22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=,则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=,其中00(,)x y 为曲线的中心, 从而有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++= ,而Φ00(,)x x y y --=0 因为00(,)x y 为曲线的中心, 所以有11012013a x a y a +=-,12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-, 令0033(,)x y a D φ-=-,代入上式得 即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++, 所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列二次曲线的方程.(1)以点(0,1)为中心,且通过(2,3),(4,2)与(-1,-3); (2)通过点(1,1),(2,1),(-1,-2)且以直线10x y +-=为渐进线. 解:利用习题8的结论即可得: (1)40xy x --=; (2)2223570x xy y x ---+=.§5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1)曲线223457830x xy y x y ++---=在点(2,1); (2)曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点; (3)曲线22430x xy y x y +++++=经过点(-2,-1); (4)曲线225658x xy y ++=经过点(); (5)曲线222210x xy y x y -----=经过点(0,2).解:(1)910280x y +-=; (2)20x y -=; (3)10,30y x y +=++=; (4)1150,0x y x y +-=-+=; (5)0x =.2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.(1)曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=; (2)曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴.解:(1)450x y +-=,(1,1)和480x y +-=,(4,3)-; (2)20y ±=,(1,2),(1,2)--和20x ±=,(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点.(1)22326410x y x y -+++=; (2)22210xy y x +--=; (3)2222210x xy y x y -+-++=.解:(1)解方程组330,220x y +=⎧⎨-+=⎩得奇异点为(1,1)-; (2)解方程组10,0y x y -=⎧⎨+=⎩得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点(1,-2)及切直线10x y --=于点(0,-1)的二次曲线方程. 解:利用(5.3-5)可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++,这里h 是一个变动的参数,作平行于已知直线y mx =的曲线的切线,求这些切线切点的轨迹方程. 解:设切点坐标为00(,)x y ,则由(5.3-4)得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++, 因为它平行与y m x =,所以有2220000x b my a h x my +=-+, 代入220022221x y a h b h +=++整理得222220000(1)()0m x m x y m y m a b +----=, 所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的(1)与x 轴平行的弦的中点轨迹; (2)与y 轴平行的弦的中点轨迹; (3)与直线10x y ++=平行的弦的中点轨迹.解:(1)因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入(5.4-3)得中点轨迹方程6740x y ++=; (2)因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入(5.4-3)得中点轨迹方程71050x y ++=; (3)因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入(5.4-3)得中点轨迹方程310x y ++=. 2.求曲线224260x xy x y +---=通过点(8,0)的直径方程,并求其共轭直径. 解:(1)把点(8,0)代入(2)(21)0X x Y y -+-= 得:1:6X Y =,再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=,其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行,求它的方程,并求出这直径的共轭直径. 解:直径方程为10x -=,其共轭直径方程为230x y -+=.4.已知抛物线28y x =-,通过点(-1,1)引一弦使它在这点被平分. 解:430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=一对共轭直径的方程,已知两共轭直径间的角是45度. 解:设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ,则'23kk =.又因为它们交角45度,所以''11k k kk -=+,从而13k =-或2,'2k =-或13,故直径和共轭直径的方程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证:通过中心曲线的直线一定为曲线的直径;平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明:因为中心曲线直径为中心线束,因此过中心的直线一定为直径;当曲线为无心曲线时,它们的直径属于平行直线束,其方向为渐进方向,所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 7.求下列两条曲线的公共直径.(1)223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=; (2)220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解:(1)210x y -+=;(2)5520x y ++=.8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线 320,5540x y x y --=⎧⎨--=⎩与530,210y x y +=⎧⎨--=⎩为它的两对共轭直径,求该二次曲线的方程. 解:设曲线的方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=,则由(5.4-3)和(5.4-5)可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=,所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.§5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆22221x y a b +=,双曲线22221x y a b-=,抛物线22y px =的主方向与主直径.解:椭圆的主方向分别为1:0和0:1,主直径分别为0,0x y ==;双曲线的主方向分别为1:0和0:1,主直径分别为0,0x y ==;抛物线的主方向分别为0:1和1:0,主直径分别为0y =. 2.求下列二次曲线的主方向与主直径. (1)22585181890x xy y x y ++--+=; (2)22210xy x y -+-=; (3)229241618101190x xy y x y -+--+=.解:(1)曲线的主方向分别为1:(-1)和1:1,主直径分别为0,20x y x y -=+-=; (2)其主方向分别为1:1和1:(-1),主直径分别为0,20x y x y +=-+=; (3)其主方向分别为3:(-4)和4:3,主直径分别为3470x y -+=; (4)任何方向都是其主方向,过中心的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径,点(0,0),(1,-1),(2,1)在曲线上,求该曲线的方程.解:设二次曲线方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=, 把点坐标(0,0),(1,-1),(2,1)分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==,所以所求曲线方程为22474780x xy y x y -+-+=.4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明:设12,λλ分别曲线的两不同特征根,由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩,所以11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从而有121212()()0X X YY λλ-+=,因为12λλ≠,所以12120X X YY +=,由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6二次曲线方程的化简与分类1. 利用移轴与转轴,化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形.(1)225422412180x xy y x y ++--+=;(2)222410x xy y x y ++-+-=;(3)25122212190x xy x y +---=;(4)222220x xy y x y ++++=. 解(1)因为二次曲线含xy 项,我们先通过转轴消去xy ,设旋转角为α,则324ctg α=,即21324tg tg αα-=,所以12tg α=或-2.取2tg α=-,那么sin α=,cos α=,所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入原方程化简再配方整理得新方程为''2''26120x y +-=;类似的化简可得 (2)''2''250y +=;(3)''2''294360x y --=;(4)''2210x -=.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴,化简下列方程,并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.(1)22845816160x xy y x y +++--=;(2)22421040x xy y x y --++=;(3)22446830x xy y x y -++-+=;(4)2244420x xy y x y -++-=. 解:(1)已知二次曲线的距阵是 8242584816⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭, 18513I =+=,2823625I ==, 所以曲线的特征方程为213360λλ-+=,其特征根为14λ=,29λ=,两个主方向为11:1:2X Y =-,22:2:1X Y =;其对应的主直径分别为8200x y -+=,7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 '2'294360x y +-=.(2)已知二次曲线的距阵是 225222520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系方程为'2'23210x y-+-=. (3)已知二次曲线的距阵是423214343-⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭,坐标变换公式''''92),101).5 x x yy x y⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'50y x-=. (4)坐标变换公式''''22),51).5x x yy x y⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2510y-=.3.试证在任意转轴下,二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'22213231313a a a a+=+.证明:设旋转角为α,则''131323cos sina a aαα=-,''231323sin cosa a aαα=+,两式平方相加得'2'22213231313a a a a+=+.4.试证二次曲线222ax hxy ay d++=的两条主直径为220x y-=,曲线的两半轴的长分别为. 证明:求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1. 利用不变量与半不变量,判断下列二次曲线为何种曲线,并求出它的化简方程与标准方程. (1)2266210x xy y x y++++-=;(2)223234440x xy y x y-+++-=;(3)2243220x xy y x y-++-=;(4)22442210x xy y x y-++--=;(5)222246290x xy y x y-+--+=;(6);(7)2222240x xy y x y++++-=;(8)224412690x xy y x y-++-+=.解:(1)因为12I=,213831I==-,13331116311=-,322II=-,而特征方程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-,所以曲线的简化方程(略去撇号)为224220x y --=曲线的标准方程为 2221012x y --=,曲线为双曲线; 类似地得下面:(2)曲线的简化方程(略去撇号)为 222480x y +-=,曲线的标准方程为 22142x y +=,曲线为椭圆; (3)曲线的简化方程(略去撇号)为22(2(20x y +=,曲线的标准方程为22011x y -=, 曲线为两相交直线;(4)曲线的简化方程(略去撇号)为250y -=, 双曲线的标准方程为2y =, 曲线为抛物线; (5)曲线的简化方程(略去撇号)为2233((022x y +=, 曲线的标准方程为220x y +=, 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线;(6)曲线的简化方程(略去撇号)为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤(, 曲线的标准方程为2y =,0,0)x a y a ≤≤≤≤( 曲线为抛物线的一部分;(7)曲线的简化方程(略去撇号)为 2250y -=, 曲线的标准方程为 252y =,曲线为两平行直线;(8)曲线的简化方程(略去撇号)为 250y =,曲线的标准方程为 20y =, 曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时,方程 2244230x xy y x y λ++---= 表示两条直线.解:方程 2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---, 即4λ=.3. 按实数λ的值讨论方程2222250x xy y x y λλ-+-++= 表示什么曲线.解:因为12I λ=,2(1)(1)I λλ=-+,3(53)(1)I λλ=+-,12(51)K λ=-,所以当λ的值变化时,1231,,,I I I K 也随着变化,它们的变化关系如下表:4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 表示两条平行直线,证明这两条直线之间的距离是d =. 证明:曲线的方程可简化为:这里当曲线表示两条平行的实直线时,10K <.所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证方程 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明:当曲线 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示一个实圆的充要条件是其特征方程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <,即21240I I ∆=-=且120I I <,从而方程确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果二次曲线的10I =,那么20I <. 证明:因为111220I a a =+=即1122a a =-,所以1112222211221211121222()a a I a a a a a a a==-=-+,而11122,,a a a 不全0,所以有20I <. 7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠,那么10I ≠,而且120I I <.证明:当230,0I I =≠时,由5.2节习题7知,曲线为无心曲线,从而有10I ≠,而且120I I <.。