高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲：函数的定义域常见求法【知识要点】一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围二、求函数的定义域的主要依据1分式的分母不能为零•2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即阪(其中n = 2k,k^ N冷中x K0,奇次方根的被开方数取全体实数，即n x (其中n= 2k+1,k E N j 中，x 运R.3、指数函数y =a x的底数a必须满足a • 0且R.4、对数函数y = log a x的真数x必须大于零，底数a必须满足a 0且a = 1.5、零次幕的底数不能为零，即x0中X = 0 .6、正切函数y =tanx的定义域是{x|x = k ,k・z}.27、复合函数的定义域的求法(1)已知原函数f (x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式a ：：：g(x) ：：：b，不等式的解集即为所求函数的定义域.(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据a ：：：x ：：：b求出函数g(x)的值域，即得原函数f (x)的定义域.8、求函数y = f (x) • g (x)的定义域一般先分别求函数y = f (x)和函数y = g(x)的定义域A和B，再求Ap] B，则川B就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域•之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便【方法讲评】方法一直接法使用情景函数的结构比较简单•解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域【例1】求函数y =-：j2x2- 5x「3的定义域•【解析】由题得2乂+ 5尤一3二0 I)0c+3)乏0所以函数的定义域为U|x>^或沐£}.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域方法二求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为 f (x) = g(x) + h(x)型•解题步骤一般先分别求函数g(x)和h(x)的定义域A和B,再求A" B, A" B就是函数f (x)的定义域•【例2】求函数y = •. 25-x2+log3cosx的定义域•【反馈检测【解析】由题得丿「225 -X2-0COSX 0ji2k — x 2k-2Tt十—z2 3 兀{x | -5 - x 或-—：：x2 2所以函数的定义域为{x| -5乞x 兀 3或x 二5}2 23 、、3或x 或x二5}2 2 2 21】求函数【点评】(1)求函数y = f(x) g(x)的定义域，一般先求y = f (x)和函数y = g(x)的定义域A 和B ,再求A 「|B ，则A 「|B 就是所求函数的定义域•( 2)该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数 的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.(3)解不等式cosx 0时,f 5 _ x _ 5主要是利用余弦函数的图像解答.(4)求一.-的解集时，只需给参数 k 赋几个]2k 兀 一一v x < 2k 兀+— k ^z I 2 2整数值，再通过数轴求交集 •( 5)注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要 仔细认真•学科#网0< x<l2二 v x h 芒 一6 /. 0 < x < lS^x 芒 yx^-所臥函数的定义域为｛划0 < X U 皿H 扌h【点评】(1)该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幕的底数不能为零，考虑要全面, 不要遗漏•( 2)求不等式的交集一般通过数轴完成x【例4】求函数y=log a (a -1) (a • 0且a =1)的定义域•【解析】由题得 a x -1 0 . a x •仁a 0当 a ・1 时，x>0;当 0<a<1 时，x<0. -当a 畀时，函数的定义域为｛x|x>0｝, 当0<a :: 1时，函数的定义域为｛x|x<0｝.【点评】(1 )求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论 数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论 •1【反馈检测2】求函数y = ln(a x T) + ：的定义域•J-x 2 -2x + 3【例3】求函数"和卩一2)0的定义域•X-X* >0【解析】由题得仆+3 -3H 0 (2 )对于指数函数和对数函方法三 抽象复合法 使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知原函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数f ［g(x)］的定义域：只需解不等式acg(x)<b ，不等式的解集即为所求函数的定义域.(2)已知复合函数f ［g(x)］的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据acxvb 求 出函数g(x)的值域，即得原函数f (x)的定义域.(1) 已知函数f(x)的定义域为［-2,2］，求函数y = f(x 2 -1)的定义域； (2) 已知函数y = f (2x • 4)的定义域为［0,1］，求函数f(x)的定义域；(3)已知函数f(x)的定义域为［-1,2］，求函数y = f (x • 1) - f(x 2 -1)的定义域.【解析】(。
令得艮卩0WTW3,从而-羽WxW 羽 .屈数F 二Ax 2 -1)的定义域为［-^3,石］■(2) Vj = /(2x+4)的定义域为［(U ］,即在 y = /(2x+4)中工€［0从 令心2工+4,x€［0:l ］r则疋［4.6］,即在产②中，『€［4.6］・*£的走义域为［4.6］,二函数y = f(x+D — /(^= -1)的定义域为［―語」］•【点评】(1)已知原函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数 f ［g(x)］的定义域：只需解不等式a ：：： g(x) <b ，不等式的解集即为所求函数的定义域 .第1小题就是典型的例子.(2)已知复合函数f ［g(x)］ 的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据 a ：：：x ：：：b 求出函数g(x)的值域，即得原函数 f (x) 的定义域.第2小题就是典型的例子.(3)求函数y 二f (x) • g(x)的定义域，一般先分别求函数 y 二f (x)和 函数y =g(x)的定义域A 和B ，再求API B ，则AD B 就是所求函数的定义域.(3>由题得P-l<x+l<2TT【反馈检测3】已知函数y =f(tan2x)的定义域为［0,_］，求函数f(x)的定义域.8【反馈检测4】 若函数y = f (x)的定义域为 1 2，求函数f(log 2x)的定义域. 忖」【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图所示).若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积 y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域.【解析】如图，设.4月=2厂 则CD=处，于是.W= x ~因此y = 2x»L ~2y ^ + ―即—x :+Lx所以函数解析式罡疗—孚严"，阳的定义域是①令.【点评】(1 )求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义•( 2)2x >0该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即L — 2x —二x，不能遗漏•> 0I. 2【反馈检测 5】一个圆柱形容器的底部直径是 dem ,高是hem .现在以vcm 3/s 的速度向容器内注入某再由题得』 2x>0 L -2x~^>0解之得X*命种溶液.求容器内溶液的高度xem关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲:函数定义域的常见求法参考答案【反馈检测1答案】{x|x . -1或x _ -2}宀x+2 『（X+2）（x 十1）启0 f x>-1或x 兰一2【反馈检测1详细解析】由题得0 .x+1 |x+1^0 XH—1J L所以x兮-1或X A-2 .函数的定义域为{x|x^-1或X A-2}.【反馈检测2答案】当a 1时，函数的定义域为{X |0 ::：X "}；当0 ::：a :：: 1时，函数的定义域为{x | -3 ：： x ：： 0}.【反馈检测2详细解析】由题得J" "1>0JJ小j[-^-2^+3>0 [x^ + 2x-3<0当口>1时，不等式组的解集为{x|0<x<l},当gxl时，不等式组的解集为{x|-3<x<0}.所以当八1时，国数的定义域为{X|0<X<5J当0<口<1时"国数的走义域为{兀|-3“<0}.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0乞x_— . 0空2x_— . 0空tan2x空1，所以函数的定义域为[0,1]. 8 4【反馈检测4答案】x | 2乞x乞4 /【反馈检测4详细解析】依题意知：丄乞log 2 x岂2解之得•• 2込x岂4 /. f （log 2x）的定义域为2"x | • 2 - x - 4 f【反馈检测5答案】函数解析式为4vtx 二d2,函数的定义域为2二hd4v值域为{ x|0 w x w h}.【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t秒后,容器中溶液的高度为xcm .故t秒后溶液的体亠 d '2积为=底面积乂咼= 冗一I x = vt12丿解之得:4vt二d2又因为4vt0 w x w h 即0 w - w h = 0 w t wnd2二hd2 4v 故函数的定义域为{t|0 w t w二hd24v}，值域为{ x|0 w x w h}.。