昆明理工大学《高等数学》A (2)重修试卷(2013年)
一.填空题.（每题4分，共48分）
1.设)cos sin(),(y x y x f +=，则)2,0(π
x f = 1 .
注：)cos cos(),(y x y x f x
+=
2.设y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+-
3.设0),,(=z y x F 可确定任一变量是其余两变量的函数，则
=∂∂∂∂∂∂z
y
y x x z ..1-. 4.曲面14222=++z y x 上点（1,2,3）处的切平面方程为
01432=-++z y x .
注：14),,(222-++=z y x z y x F ,z F y F x F z y x 2,2,2===, 2(x-1)+4(y-2)+6(y-3)=0 5.交换积分次序，则=
⎰⎰
dy y x f dx x x
1
0),(dx y x f dy y y ⎰
⎰
10
2
),(.
6.设D 为x y x 222≤+，则σd y x f D
⎰⎰+)(22在极坐标下的二次积分为
ρρρθθ
ππ
d f d ⎰
⎰-cos 20
2
/2
/)(.
7.设L 为122=+y x 在第一象限的弧段，则ds e
L
y x ⎰+2
2=e π2
1
.
8.曲线积分⎰
=+)
8,6()
0,0(ydy xdx 50 .
注：)
8,6()0,0(22|)(2
1y x +
9.设曲面∑为221y x z --=，则⎰⎰∑
++dS z y x )(222=π2.
10.设∑是母线平行于z 轴的柱面，则⎰⎰∑
dxdy z y x f ),,(= 0 .
11.微分方程2013=+'y y x 的特解为2013=y .
12.微分方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e x +.
二..计算题.（每题8分，共24分）
1.设(,)u v Φ具有连续偏导数,(,)z z x y =由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定,求
z
x
∂∂, z y ∂∂. 解：0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φx z
b x z a
c 2
11Φ+ΦΦ=∂∂⇒b a c x z 0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φy
z
b c y z a
212Φ+ΦΦ=∂∂⇒b a c y z 2.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.
解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∂∂=-+=∂∂0ˆ630ˆ9632
2
y y y z x x x
z 得四个驻点
)2,1(),0,1(),2,3(),0,3(4321P P P P --
6622+=∂∂=x x
z
A ,02=∂∂∂=
y x z B ,6622+-=∂∂=y y z C (1)对P2:A=-12<0,B=0,C=-6<0, AC-B²=72>0,f(-3,2)=31为极大值. (2)对P3点: A=12>0,B=0,C=6>0, AC-B²=72>0, f(1,0)=-5为极小值; (3)对P1,P4点,都有AC-B²<0,故此两点不是极值点;因此:f(x,y)=x³-y³+3x²+3y²-9x 的极值点为: (1,0)对应极小值:f(1,0)=-5,(-3,2)对应极大值:f(-3,2)=31.
3.求曲面222y x z +=与2226y x z --=所围立体的体积. 解：222y x z +=,2226y x z --=222=+⇒y x
所求体积⎰⎰⎰--+=
2
22
2
262y x y x D dz dxdy V xy
⎰⎰--=xy D dxdy y x )2(322
⎰⎰-=2
220
)2(3ρρρθπ
d d ⎰-=2
3)2(6ρρρπd
=πρρπ6|)}4
1(6204
2=-
三．计算曲线积分⎰+-L
y
x ydx
xdy 2
2，其中L 是不过原点的正向简单闭曲线.（8分） 解：2
2),(y x y y x P +-
=,2
2),(y x x y x Q +=
2
2222)
(y x x y x Q +-=∂∂,2
2222)
(y x y x y P ++-=∂∂
(1)当L 不包含原点时
⎰+-L
y
x ydx
xdy 2
2=0)(=∂∂-∂∂⎰⎰dxdy y
P
x Q D
(2)当L 包含原点时，在L 内作以原点为圆心半径为r 的小圆C （正向取顺时针方向），则
⎰+-L y x ydx xdy 22=
⎰⎰
-
+
+C C
L =0+π
θθθθπ
2)
cos (sin )sin (cos 20
2
=-⎰r r d r r d r
四.计算曲面积分⎰⎰∑
yzdxdy ，其中∑是平面0,0,0===z y x 与
1=++z y x 所围四面体的边界曲面取外侧.（10分）
解：∑由四部分组成，以321,,∑∑∑分别表示位于坐标面的三部分，另一部分以4∑表示。

显然=⎰⎰∑1
⎰⎰∑2
=03
=⎰⎰∑
从而⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
yzdxdy ⎰⎰∑++4
=⎰⎰∑4
⎰⎰--=
xy
D dxdy y x y )1(=⎰
⎰---x
dy y x y dx 10
210
])1([
=⎰-103)1(61dx x =24
1|)1(24110
4=--x
五.求解微分方程： 1)0(,0)0(,22='==-'+''y y x y y y （10分）
解：022=-+r r 1,221=-=⇒r r ,齐次方程通解:x x e C e C 221+- 设原非齐次方程的特解为B Ax y +=,
21
,1222-
=-=⇒=--B A x B Ax A
原非齐次方程的通解为2
1221-
-+=-x e C e C y x x 12'221-+-=-x x e C e C y
1)0(,0)0(='=y y 112,02
1
2121=-+-=-
+⇒C C C C 1,2
1
21=-=⇒C C
原方程的解为2
1
212--+-=-x e e y x x。