第1章 函数与极限1.用区间表达函数)4arcsin()3ln(-+-=x x xy 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x xxe ee f ,求)(x f 的表达式.解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x xxe e e ee f ，所以1)(2+-=x x x f .解法2：令1+=xe u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x xxe e ef ，得11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0.6.=+→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为 不存在 .解：在极限xx x +→0lim 中，+→0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++→→→x x x x x x x ， 在极限x x x -→0lim 中，-→0x ，此时0<x ，所以1)1(lim lim lim 000-=-=-=+--→→→x x x xx x x ， 因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，xxx f =)(在0=x 处的极限x x x 0lim →不存在.1.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f B .A.有界;B.在),(0oδx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在0x x →定点的情形，则是保证函数在0x 的去心邻域),(0oδx U 内有界；B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某．一去心．．邻域内有界. 2.设x e x f x1arctan)1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞. 解：)(lim )0(0x f f x -→-=，当-→0x 时，-∞→x 1，从而01→x e ，21arctan π-→x ，故2)2()01()(lim )0(0ππ-=-⋅+==-→-x f f x .1.以下判断正确的是 D .A.xe 是无穷大量; B.x1是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量;D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞→xx e lim ，因而xe 是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0=→xx e ，因而当0→x 时x e 不是无穷大量. 对于B 选项，例如，01lim=∞→x x ，因而x 1是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→x x 1lim 0，因而当0→x 时x1不是无穷小量，而是无穷大量.C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式)(1x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(. 例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,使得对于一切大于X 的x ,都有M x f >)(.例如),2,1,0( 0)22cos()22()22( ==++=+k k k k f ππππππ,对于任意大的X ,当k 充分大时,总有X k x >+=22ππ,但M x f <=0)(.1.01sin lim 0=→x x x 的理由是 有界函数x1sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)2(2lim x x x x x ∞. 解：因为022220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232222322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x 503020532⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是505,所以所求极限值是503020532⋅. 4.已知51lim21=-++→xcbx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,分子)(2c bx x ++的极限必存在,又已知51lim21=-++→x cbx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)1()1(lim 11lim 1lim21212152)1(lim 1=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c . 1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x一定发散; D.以上结论都不对.解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如nn n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、1=⋅n n y x 及1=nny x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对. 解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，有n n n n n n n n n x z x z y ∞→∞→∞→∞→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故n n n y x z ±=一定发散. 证毕.B 、C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，nn y )1(-=发散，成立0==⋅nnn n y x y x 收敛. 5.)1311(lim 31x x x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 212132131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.x x x x +---→131lim 21; 解：=++-+--++--=+---→→)13)(13()13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x222)13)(1(lim )1(2)13)(1(lim 121-=++-+-=-++--=→→x x x x x x x x x .7.)2141211(lim n n ++++∞→ ; 解：2211211lim)2141211(lim =--=++++∞→∞→nn n n . 8.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n . 解：=--+=--+=-++++-+∑∑∑==∞→=∞→∞→n i n i n n i n n i n n i n n n n n 112122351lim )35(1lim )35(12721lim 5232)1(51lim 2=-+⋅-+∞→n n n n n n . 1.=→x xx ωsin lim 0ω. 解：ωωωωω=⋅=→→xx x x x x sin lim sin lim 00. 2.=-→x xx ππsin lim 1 . 解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ 3.=∞→n n n x 2sin 2lim x . 解：x x x x x nnn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 4.=+∞→nn n n 2)1(lim 2-e . 解：=+-+-=+---∞→∞→212)]111()111[(lim )1(lim nn n n n n n n 222212211)111(lim ])111[(lim )111(])111[(lim ---∞→---∞→----∞→=⋅=+-⋅+-=+-+-=e e nn n n n n n n n . 或2221)11()11(1lim )/)1(/(lim )1(lim enn n n n n n n n n n n n n n =++=+=+∞→∞→∞→. 5.若6)311(lim e x kxx =+-∞→,则=k ―6 .解：=+-+-=+-=+----∞→∞→∞→kx x k x x kx x x x x x ])311()311[(lim ])311[(lim )311(lim 336331])311(lim ])311[(lim e e x x k kx k x x =⋅=+-⋅+-=--∞→---∞→，得6-=k . 6.要使函数2tan )(x xx f =是无穷大,则要求x 趋于值),2,1(2 ±±=k k π.解：函数2tan )(x xx f =的定义域为}),,2,1,0({R x k k x x D ∈±±=≠= π.因为对任意点D x ∈0，根据两函数商的极限运算法则，必有)(2tan 2tan lim )(lim 00000x f x x x x x f x x x x ===→→是有限值，所以，使函数2tan )(xxx f =是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即),2,1,0( ±±==k k x π.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：)()12(;0);,0(2Z k k x x Z k k k x ∈+==∈≠=ππ，求得)0(,02tanlim )(1lim 22≠==→→k xx x f k x k x ππ，所以)0(,)(lim 2≠∞=→k x f k x π；而22tan 2lim 22tan lim )(lim 000===→→→x x x x x f x x x ；02tan lim )(lim )12()12(==+→+→x x x f k x k x ππ)02sin 2coslim2tan 1lim ()12()12(==+→+→xxx k x k x ππ；所以),2,1(2 ±±=k k π为所求. 2.=-→x x x cos 1lim 0 C . A.0; B.1; C.不存在; D.22.解：因为222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200===-+++→→→x x x x x x x x x ， 222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200-=-==-+--→→→x x x x x x x x x ， 左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C 选项正确.1.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→;解：1])11ln[(lim )11ln(lim 1lnlim ]ln )1[ln(lim 1-=-+=-=-=----∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn n n n n n n .2.)1cos arctan 1(lim 0x x x x x ⋅-→; 解：1011cos lim arctan lim )1cos arctan 1(lim 000=-=⋅-=⋅-→→→xx x x x x x x x x x . 3.xx x x 3)1212(lim -+∞→; 解：=-+=-+=-+∞→∞→∞→333])21211[(lim )1221(lim )1212(lim x x x x x x x x x x 2332122312)]21211(lim ])21211[(lim )]21211()21211[(lim -+⋅-+=-+⋅-+=∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x 331e e =⋅=. 4.x x x 4tan )21ln(lim 0+→; 解：212111214tan 42)21ln(lim 4tan )21ln(lim 00=⋅⋅=⋅⋅+=+→→x x x x x x x x . 四利用极限存在准则证明：1.1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n .证明 因为)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππ+=++++++≤22222)111(n n n n n n , 又)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππn n n n n n n n n n +=++++++≥22222)111( , 而1lim 22=+∞→πn n n ,1lim 22=+∞→πn n n n ,由夹逼准则,得1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n . 证毕.1.当0→x 时,与x 等价的无穷小有aa x e x x x x x xln 1),1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+-.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，1sin lim 0=→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→x x x ，1arctan lim 0=→xxx ，11lim 0=-→x e x x ，1)1ln(lim 0=+→xx x ，1ln 1lim 0=-→x a a x x .2.设0→x ,则~cos 1x -22x ,~11-+n x nx.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，12cos 1lim 20=-→xx x ，111lim 0=-+→n x x nx ：成立1)2(2sin lim 22sin 2lim 2cos 1lim 22022020===-→→→x xx x x x x x x . 成立=++++++-+=-+---→→])1()1()1([1)1(lim 11lim2100n n n n n n n n n x nx x x x nx x n xx (用到因式分解公式))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b abb a b a a b a b a ) 11)1()1(lim 210==+++++=--→nnx x n n n nn x . (其中极限)1,,2,1(1)1(lim 0--==+→n n m x n mx 用到了习题1-6中题4(4)的结果11lim 0=+→n x x 及第五节中定理3的推论2)3.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小?32x x -.解：根据高阶无穷小的定义，因为02)1(lim 2lim 02320=--=--→→xx x x x x x x x ，所以，分子32x x -是比分母22x x -高阶的无穷小. 4.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .解：因为13111lim 11lim 2131≠=++=--→→x x x x x x ，所以无穷小x-1和31x -是同阶无穷小，但不是等价无穷小. 1.当+→0x 时,下列哪一个无穷小是关于x 的三阶无穷小 B .A.x x -32; B.a x a -+3 (a 为正常数); C.230001.0x x +; D.3tan x .解：根据k 阶无穷小的定义，A 选项不正确：因为∞=+-+-=-+++→→→)(1lim )(lim lim 2132231021323340332x x x x x x x x x x xx x x x .B 选项正确：因为=++=-+++→→)(lim lim 3330330a x a x x x a x a x x 0211lim 3≠=+++→aax a x .C 选项不正确：因为∞=+=+++→→)0001.01(lim 0001.0lim 03230xx x x x x . C 选项不正确：因为∞=⋅=++→→383303301tan lim tan lim x xx x x x x . 三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.mn x x x )(sin )sin(lim 0→ (m n ,为正整数);解：m nx x x )(sin )sin(lim 0→⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→.,,,1,,0lim 0m n m n m n x x mnx (m n ,为正整数). 2.x x x x 30sin sin tan lim -→; 解：3030sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x -=-→→21cos 2lim cos )cos 1(sin lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x x x . 3.1)31ln(lim 2320--+→x x e x x ; 解：33lim 1)31ln(lim 23203202=-=--+→→x x x e x x x x x . 4.)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x .解：)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x 3tan sin lim 62sin 3tan sin lim 3020-=-=⋅-=→→x x x x x x x x x (利用2题结果或方法).1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=,0,11sin ,0,sin 1)(x x x x x xx f 则0=x 是)(x f 的 A .A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：1sin 1lim )(lim )0(00===--→→-x x x f f x x ，1)11sin (lim )(lim )0(00=+==++→→+xx x f f x x ，由于)0()0(+-=f f 即左右极限存在且相等，所以极限1)(lim 0=→x f x 存在，因而0=x 是)(x f 的可去间断点.故A 选项正确，B 、C 、D 选项不正确.2.设11cotarc )(2-+=x x x f ,则1=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 解：根据间断点的分类，考察：π+=-+==--→→-1)11cot arc (lim )(lim )1(21100x x x f f x x ，001)11cot arc (lim )(lim )1(21100=+=-+==++→→+x x x f f x x ，由于左右极限存在但不相等，所以1=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确. 3.设xee xf xx1arctan121)(11+-=,则0=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 解：注意到∞==+-→→xx xx e e 101lim ,0lim ，21arctan lim ,21arctanlim 00ππ=-=+-→→x x x x . 根据间断点的分类，考察：2)2(11arctan121lim )(lim )0(11ππ-=-⋅=+-==--→→-x ee xf f xx x x , ππ-=⋅-=+-==++→→+221arctan121lim )(lim )0(110x ee xf f xxx x ，由于左右极限存在但不相等，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点. 故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)2,1,23122==+--=x x x x x y ; 解：1 2231lim 221=∴-=+--→x x x x x 为第一类(可去)间断点.补充定义,2)1(-=y 则函数y 在1=x 处连续. 2 231lim 222=∴∞=+--→x x x x x 为第二类(无穷)间断点. (2) 2,,tan πππ+===k x k x x x y ( ,2,1,0±±=k ); 解： 0 1tan lim 0=∴=→x xxx 为可去间断点.补充定义,1)0(=y 则函数y 在0=x 处连续.2 0tan lim 2ππππ+=∴=+→k x xx k x 为可去间断点.补充定义,0)2(=+ππk y 则函数y 在2ππ+=k x 处连续.)0( )0(tan lim≠=∴≠∞=→k k x k x xk x ππ 为第二类(无穷)间断点.(3)0,1cos 2==x x y . 解：因为x x 1cos lim 20-→(或xx 1cos lim 20+→)不存在，所以0=x 为第二类间断点(且为振荡间断点).1.函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间为),2(),2,3(),3,(+∞---∞,极限=→)(lim 0x f x 21,=-→)(lim 3x f x 58-,=→)(lim 2x f x ∞.解：在此633)(223-+--+=x x x x x x f 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义区域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞，可知)(x f 的连续区间即)(x f 的定义域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞.又根据函数间断点的概念，可知函数)(x f 没有定义的点2,3=-x x 是其间断点.因为0=x 是连续点，所以极限21)0()(lim 0==→f x f x ；而在间断点2,3=-x x 处，极限5821lim )3)(2()3)(1(lim 633lim )(lim 232322333-=--=+-+-=-+--+=-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x f x x x x ；极限∞=-+--+=→→633lim )(lim 22322x x x x x x f x x . 4.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a 1 .解：若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，那么)(x f 必在其分段点0=x 处连续，即成立)0()(lim 0f x f x =→，则必有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=.而1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，故1=a ，此时)0(1)(lim 0f a x f x ===→.二求下列极限：3.145lim1---→x x x x ; 解：2)45)(1()1(4lim 145lim 11=+---=---→→x x x x x x x x x .4.a x a x a x --→sin sin lim ; 解：a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x cos 2cos 22sinlim 2sin 2cos 2lim sin sin lim =+⋅--=--+=--→→→. 5.)(lim 22x x x x x --++∞→. 解：111112lim 2lim)(lim 2222=-++=-++=--++∞→+∞→+∞→xx x x x x x x x x x x x x . 三求下列极限：1.xx e 1lim ∞→; 解：1lim 1=∞→xx e .2.x xx sin lnlim 0→; 解：0sin ln lim 0=→xx x .3.)arcsin(lim 2x x x x -++∞→. 解：621arcsinarcsinlim )arcsin(lim 22π==++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x . 一证明题1.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.证明 设13)(5--=x x x f ，对)(x f 在闭区间[1,2]上用零点定理：因为13)(5--=x x x f 在闭区间[1,2]上连续，并且0)72()3()2()1(5<-⋅-=⋅f f ，所以由零点定理可得，至少存在一点)2,1(∈ξ使0)(=ξf ，即0135=--ξξ，亦即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证毕.2.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +.证明 思路如下：先构造辅助函数)sin ()(b x a x x F +-=，则方程b x a x +=sin 的根的问题即转化为函数)(x F 的零点的问题；然后判断)(x F 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(x F 的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过b a +，故在闭区间],0[b a +上进行考察.令)sin ()(b x a x x F +-=，则0)0(<-=b F ,=+)(b a F 0)]sin(1[≥+-b a a ，以下分两种情况讨论：①当1)sin(=+b a ，0)(=+b a F ，则b a +就是函数)(x F 的零点，也就是方程b x a x +=sin 的一个根，此根],0(b a b a +∈+，取到区间],0(b a +的右端点；②当1)sin(<+b a ，0)(>+b a F ，因为)(x F 在(∞∞-,)上连续, 从而在],0[b a +上连续，并且0)()0(<+⋅b a F F ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间),0(b a +内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即ξ是方程b x a x +=sin 的一个根，此根),0(b a +∈ξ.由①②即得，方程b x a x +=sin 在],0(b a +内至少有一个根. 证毕. 4.若在0x 的某个邻域内)()(x x f ϕ>,且A x f x x =→)(lim 0,B x x x =→)(limϕ,则A 与B 的关系是B A ≥.解：根据函数极限的性质定理：如果)()(x x ψϕ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，那么b a ≥.(第五节定理5)5.设)(x f 处处连续,且5)2(=f ,则=-→)1(3tan lim20xe f x x x x 15 .解：注意到)(x f 处处连续，则15)2(3)212(33tan 3lim )1(3tan lim2020=⋅=-⋅⋅=-→→f xe f x x x e f x x x x x x . 2.设232)(-+=xx x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是 B .A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为6ln 3ln 2ln )13()12(lim 232lim )(lim000=+=-+-=-+=→→→xx x x f x x x x x x x ， 由16ln ≠知A 选项不正确，由06ln ≠知B 选项正确且C 选项不正确，由6ln 非∞知D 选项不正确.三求下列极限：1.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n . 解：])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n )]121121()7151()5131()3111[(21lim +--++-+-+-=∞→n n n 21)1211(lim 21=+-=∞→n n . 2.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ . 解：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ ))1)(1(111(2222n n n n n n --=-=- 2222)1)(1(453342231lim n n n n --⋅⋅⋅⋅⋅=∞→ 2121lim =+=∞→n n n . 3.)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→. 解：)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→2121lim sin cos 11lim 2200==-⋅=→→x x x x x x x . 4.x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→. 解：x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→11sinln 111cosln 11lim 0=++=+→xx x x x . 5.ππ-∞→3232sinlimx x x x x . 解：ππ-∞→3232sinlimx x x x x πππππ=-=-⋅=∞→∞→333232limlimx x x x x x x x . 6.)111)(110()110()12()1(lim 222--++++++∞→x x x x x x . 解：)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x 271110102122=⋅+++= . 7.)0,0,0.()3(lim 10>>>++→c b a c b a xx x x x . 解：xxx x x c b a 10)3(lim ++→xxx x x c b a 10)331(lim -+++=→313330)331(lim ⋅-++⋅-++→-+++=x c b a c b a xx x x x x x x x x c b a ， )111(lim 3lim 00xc x b x a x c b a x x x x x x x x -+-+-=-++→→ abc c b a ln ln ln ln =++=，所以原式abc eln 31=3abc =. 8.x x x cot 0)]4[tan(lim -→π. 解：x x x cot 0)]4[tan(lim -→π2tan 11tan 10)tan 1(])tan 1[(lim---→=+-=e x x xx x .9.xx x tan 2)(sin lim π→.解：xx x tan 2)(sin lim π→xx x x cos sin 2)]1(sin 1[lim -+=→πxxx x x x sin cos 1sin 1sin 12)]1(sin 1[lim ⋅-⋅-→-+=π，x x x x x x x cos 1sin lim sin cos 1sin lim 22-=⋅-→→ππ 02sin 2cos 2cos 2sin lim 2sin 2cos )2cos 2(sin lim22222=+-=---=→→x x x x x x x x x x ππ，所以原式10==e . 10.1111lim 30-+-+→x x x . 解：1111lim 30-+-+→x x x )11)(11)1()(11()11)1()(11)(11(lim 33233320++++++-+++++++-+=→x x x x x x x x x 23)11()11)1((lim 3320=++++++=→x x x x x x .11.xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→.解：x x x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→xx x x x x x x -+-++-+=-∞→sin 114lim221sin 111114lim 2=+---+=-∞→x x x x x x . 12.)0( .1lim >+∞→a a a n nn 解：)0( .1,1,1,21,100,1lim >⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=+∞→a a a a a a nn n 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->++=,0,cos ,0,)1ln(1cos sin )(2x x be x x x x x x f x应当怎样选择数b ,使得)(x f 在0=x 处连续.解：应有)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→,而1)0()(lim ,1)(lim 00-===-+→→b f x f x f x x ,所以2=b .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 求的间断点,并说明间断点所属类型. 解：因为函数在1=x 处无定义(在)1(0U 有定义),所以1=x 是)(x f 的一个间断点.)11lim ( 0lim )(lim 11111-∞=-==---→-→→x ex f x x x x , )11lim ( lim )(lim 11111+∞=-∞==+++→-→→x e x f x x x x ,1=∴x 是第二类间断点.在分段点0=x 处,eex f x x f x x x x x 1lim )(lim ,0)1ln(lim )(lim 11===+=-→→→→++-- , 0=∴x 也是)(x f 的间断点,且是第一类间断点. 五证明题2.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且b b f a a f ><)(,)(,证明:在),(b a 内至少存在一点ξ,使ξξ=)(f . 证明 设x x f x g -=)()(,对)(x g 在闭区间],[b a 上用零点定理:由)(x f 在闭区间],[b a 上连续,可得x x f x g -=)()(在闭区间],[b a 上连续,并且0)()(<-=a a f a g ,0)()(>-=b b f b g ,故由零点定理得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使0)()(=-=ξξξf g ,即ξξ=)(f . 证毕.3.设函数)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,且0)(0>=A x f .证明:存在0x 的邻域),(),(0b a x U ⊂δ,使当x 属于该邻域时,A x f 21)(>. 证明 设2)()(A x f x g -=,则022)(]2)([lim )(lim 000>=-=-=→→AA x f A x f x g x x x x ,由极限的局部保号性知,存在00>δ,使当000δ<-<x x 时,有0)(>x g .取},,m in{000x b a x --=δδ,则当),(),(0b a x U x ⊂∈δ时,有0)(>x g ,即A x f 21)(>.证毕.。