相似三角形性质2知识精要一、相似三角形的性质1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用热身练习一、填空题：1、两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为3：4 。

2、地图比例尺为1：2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。

3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __4、如图4，已知DE∥BC，AD：DB=2：3，那么S△ADE：S△ECB=4：15 。

5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9二、选择题：1、如图，在ABCD中，AC与DE交于点F,AE：EB=1：2，S △AEF=6cm2，则S△CDF的值为（D ）A．12cm2B．15cm2C．24cm2D．54cm22、若菱形的周长为16cm，相邻两角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（B ）A．32B．32C．32D．3 23、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（B ）A．1：5000000 B．1：500000 C．1：50000 D．1：5000三、解答题：1、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=3：5，求：（1）S△AOD：S△BOC的值；（2）S△AOB：S△AOD的值．参考答案：（1）9：25 （2）5：32、如图，已知：△ABC∽△A´B´C´,且AB：A´B´=3：2，若AD与A′D′分别是△ABC与△A´B´C´的对应中线。

(1)你发现还有哪些三角形相似?(2)若AD=9cm,则A＇D＇的长是多少？(3）若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD与△A´B´D´成立吗？故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。

参考答案：（1）△ABD∽△A´B´D´, △ACD∽△A´C´D´；（2）A＇D＇为6cm；（3）成立3：2、9：4。

精解名题例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分别延长AD和BC交于P，求△PCD的周长。

参考答案：∵AB∥CD ∴PD PAPC PB=设PD=3x ,PC=3y37PD PC CDPA PB AB===3x CDPA AB=PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=92△PCD的周长为152例2.、在△ABC 中,DE//BC,DC 与BE交于点O ，若BCED S 四边形=8ADE S ，且1DOES=，求四边形BCED 的面积。

参考答案：19ADE ABCS S= ∴13DE OE BC OB == ∵13OE OB = ∴13ODE OBDS S= 3OBDS = 同理，3OECS= ∴19DOE OBCS S=∴9OBCS = 16BCED S =四边形例3、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值。

参考答案：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°， 90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△．（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM x MC CN x CN ∴=∴=-，，244x xCN -+∴=，22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， 由（1）知AM AB MN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =． 备选例题例1、在△ABC 中，90ACB ∠=︒,CD 是AB 上的高，如果AC:BC=4:3,求:ACDBCDSS值。

参考答案：∵△ACD ∽△CBD ∴9162==⎪⎭⎫⎝⎛∆∆CBD ACD S S BC AC例2、如图 ，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：CDF BGF △∽△；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．参考答案：（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，， ∴CDF BGF △∽△． （2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC = ∴CDF BGF △≌△， ∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥， ∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==D C FE ABG巩固练习一、填空题：1、如图1，（1）若OAOB=OCOD，则△OAC∽△OBD，∠A=∠B（2）若∠B=_∠A ，则△OAC∽△OBD，OA与OB或OC与OD或AC与DB是对应边（3）请你再写一个条件，___∠C=∠D或AC∥BD，使△OAC∽△OBD2、如图2，若∠BEF=∠CDF，则△FEB∽△FDC，△ABD∽△ACE3、如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为________，AC=_______（0，33)5 22AC=二、选择题：1、下列各组图形一定相似的是（ C ）A．有一个角相等的等腰三角形B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形D．有一个角是对顶角的两个三角形2、如图2，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（D ）A．45°B．60°C．75°D．90°∵AB=AC，∠B=90°，∴∠1=45°．设AB=BC=CD=DE=1，则AC=2，CE=2，∴2222CD ACAC CE===，∴△ACE∽△DCA，∴∠2=∠CAE．∵∠1=∠CAE+∠3=∠2+∠3，∴∠1+∠2+∠3=90°3、下列各组图形中不一定相似的有（ B ）①两个矩形②两个正方形③两个等腰三角形④两个等边三角形⑤两个直角三角形⑥两个等腰直角三角形A. 2个B. 3个C. 4个D.5个4、下列命题中错误的是（C）A．相似三角形的周长比等于对应中线的比B．相似三角形对应高的比等于相似比C．相似三角形的面积比等于相似比D．相似三角形对应角平分线的比等于相似比三、解答题：1、如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．CEFD参考答案：△AFD∽△CFE △AEB∽△CDB △AFD∽△ABE，△CFE∽△CBD，△ADF∽△CDB，△CEF∽△AEB理由：有两个角对应相等的三角形相似2、如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．参考答案：△ADF∽△AEG∽△ABC△ADF∽△AEG，相似比为1：2；△AEG∽△ABC，相似比为2：3；△ADF∽△ABC，相似比为1：3．3、如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）•和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．参考答案：（0，12）或（0，-12），（0，2），（0，-2）理由：若△AOB与△DOC相似：∠B=∠OCD，∴1,42OC OD ODOB OA==即，∴D（0，12），同理：D（0，-12）．4、如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．参考答案：：△GAD或△ECH或△GFH，证△GAD∽△DBE．证明：∵△ABC，△DEF是等边三角形，∴∠A=∠B=∠FDE=60°，∴∠BDE+∠GDA=120°，又∵∠BDE+∠DEB=120°，∴∠ADG=∠DEB，∴△GAD∽△DBE．5、高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明参考答案：利用反射角等于入射角，可得∠BEA=∠DEC．又∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴△ABE∽△CDE6、如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．参考答案：（1）ABCD中，CD∥AB，∴∠D=∠DAF．又∵∠DEC=∠AEF，∴△CDE∽△FAE．（2）当E是AD中点时，△DEC≌△AEF（SAS）．∴CD=FA，BF=2CD．又∵BC=2CD，∴BF=BC，∴∠F=∠BCF．自我测试一、填空题：1、两个相似三角形的角平分线比是2,且大三角形的面积为3面积为 83平方厘米2、两个相似三角形对应中线之比为2又两个三角形面积之和是129平方厘米，则两个三角形的面积分别为 43平方厘米，86平方厘米3、已知ΔABC∽ΔDEF,且SΔABC:SΔDEF=16:9，两三角形周长的和为21厘米，则ΔABC的周长为 12厘米4、在ΔABC中D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD:BD=2:3，则S四边形DBCE:SΔADE=21:45、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD:BC=1:3，AC与BD相交于O，则SΔAOD:SΔCOD:SΔBOC=1:3:9二、解答题：1、已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC．参考答案：∵AM ∥BN ，∴∠A=∠NBC ，∠C=∠C ，△NBC ∽△MAC ，,1.215,.3.2 2.516BC NCAC MCNC NC m ∴===即2、如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ．参考答案：∵△ACB 是等腰直角三角形，： ∴∠A=∠B=45°． 又∵∠MCN=45°， ∴∠ACM+∠NCB=45°，∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN ， ∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN ． ∴在△BCM 和△ANC 中，∠A=∠B ． ∴∠CNA=∠MCB ，∴△BCM ∽△ANC ．3、在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FNNE的值．参考答案：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠ADB=∠DBC ， ∠AMD=∠BME ， ∴△AMD ∽△EMB ． （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴△FND ∽△ENB ，∴FN DN NE BN ==12。