相似三角形性质（二）
知识精要
一、相似三角形的性质
1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比．
4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 二、相似三角形的应用
热身练习
一、填空题：
1、两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为 ．
2、地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm ，面积为1002
cm ，实际周长为 m ，实际面积为 2
m ．
3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为______．
4、如图，已知DE ∥BC ，:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S ∆∆= ．
5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为 ，面积比为 ．
二、选择题： 1、如图，在
ABCD 中， AC 与DE
交于点F ，:1:2AE EB =，6AEF S ∆=2
cm ，则CDF S ∆的值
为（ ）
A ．122
cm ； B ．152
cm ； C ．242
cm ； D ．542
cm ． 2、若菱形的周长为16cm ，相邻两角的度数之比是1:2，则菱形的面积是（ ）
A ．432
cm ； B ．832
cm ； C ．1632
cm ； D ．2432
cm ． 3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（ ）
A ．1:5000000；
B ．1:500000；
C ．1:50000；
D ．1:5000． 三、解答题：
1、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，:3:5AD BC =． 求：（1）:AOD BOC S S ∆∆的值；（2）:AOB AOD S S ∆∆的值．
2、如图，已知：△ABC ∽△'''A B C ，且:''3:2AB A B =，若AD 与''A D 分别是△ABC 与△'''A B C 的对应中线． （1）你发现还有哪些三角形相似?
（2）若9AD =cm ，则''A D 的长是多少？
（3）若AD 与''A D 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△'''A B D 相似成立吗？
故两个相似三角形的所有对应线段之比=______，面积之比=_________．
精解名题
例1、已知梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于P ，求△PCD 的周长．
例2、在△ABC 中，DE ∥BC ，DC 与BE 交于点O ，若8ADE BCED S S ∆=四边形，且1DOE S ∆=，求四边形BCED 的面积．
例3、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值．
备选例题
例1、在△ABC中，90
ACB
∠=︒，CD是AB上的高，如果:4:3
AC BC=，求:
ACD BCD
S S
∆∆
值．
例2、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若6
AB=cm，4
EF=cm，求CD的长．
巩固练习
一、填空题：
1、如图1，（1）若
OA
OB
=______，则△OAC∽△OBD，A B
∠=∠．
（2）若B
∠=_____ ，则△OAC∽△OBD，__________________是对应边．
（3）请你再写一个条件，______________，使△OAC∽△OBD．
2、如图2，若BEF CDF
∠=∠，则________∽________，_________∽__________．
D C
F
E
A G
3、如图3，已知A（3，0），B（0，6），且ACO BAO
∠=∠，则点C的坐标为________，AC=_______．
二、选择题：
1、下列各组图形一定相似的是（）
A．有一个角相等的等腰三角形；B．有一个角相等的直角三角形；
C．有一个角是100︒的等腰三角形；D．有一个角是对顶角的两个三角形．
2、如图2，AB BC CD DE
===，90
B
∠=︒，则123
∠+∠+∠等
于（）
A．45︒；B．60︒；C．75︒；D．90︒．
3、下列各组图形中不一定相似的有（）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三
角形；
④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥两个等腰直角三角形．
A．2个；B．3个；C．4个；D．5个．
4、下列命题中错误的是（）
A．相似三角形的周长比等于对应中线的比；B．相似三角形对应高的比等于相似比；
C．相似三角形的面积比等于相似比；D．相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
三、解答题：
1、如图，在△ABC中，CD、AE是三角形的两条高，写出图中所有相似
的三角形，简要说明理由．
F
E
D
C
2、如图，D、E是AB边上的三等分点，F、G是AC边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
3、如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）•和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．
4、如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．
AE m，他与镜子的距离5、高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离27
是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明．
6、如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E ．
（1）求证：△CDE ∽△FAE ．
（2）当E 是AD 的中点，且2BC CD =时，求证：F BCF ∠=∠．
自我测试 一、填空题：
1、两个相似三角形的角平分线比是3:2，且大三角形的面积为363平方厘米，则小三角形的面积为
2、两个相似三角形对应中线之比为1:2，又两个三角形面积之和是129平方厘米，则两个三角形的面积分别为 __________
3、已知ΔABC ∽ΔDEF ，且:16:9ABC DEF S S ∆∆=，两三角形周长的和为21厘米，则△ABC 的周长为______________
4、在△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，:2:3AD BD =， 则:ADE DBCE S S ∆=四边形__________
5、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，:1:3AD BC =，AC 与BD 相交于O ， 则::AOD COD BOC S S S ∆∆∆=__________ 二、解答题：
1、已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC ．
2、如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，45MCN ∠=︒，试说明△BCM ∽△ANC ．
3、在
ABCD 中，M 、N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于
F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN
NE
的值．。