函数与导数经典例题-高考压轴1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点.2. 已知函数21()32f x x =+,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值;(Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---;(Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥L .3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a ,使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立. 注:e 为自然对数的底数.4. 设21)(axe xf x+=,其中a 为正实数. (Ⅰ)当34=a 时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 5. 已知a ,b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数的底数)。
(I )求实数b 的值; (II )求函数f (x )的单调区间; (III )当a=1时,是否同时存在实数m 和M (m<M ),使得对每一个t ∈[m ,M],直线y=t 与曲线y=f (x )(x ∈[1e,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m 和最大的实数M ;若不存在,说明理由。
6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++,2()32gx x x =-+,其中x R ∈,a 、b 为常数,已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0)处有相同的切线l 。
(I ) 求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;(II )若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ,其中12x x <,且对任意的[]12,x x x ∈,()()(1)fxg x m x +<-恒成立,求实数m 的取值范围。
函数与导数经典例题-高考压轴答案1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
(Ⅰ)解:当1t =时,322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-(Ⅱ)解:22()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2t x t x =-=或因为0t ≠,以下分两种情况讨论:(1)若0,,tt t x <<-则当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
(2)若0,tt t >-<则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表:所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当0t >时,()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减,在,2t ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增,以下分两种情况讨论: (1)当1,22tt ≥≥即时,()f x 在(0,1)内单调递减,所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。
(2)当01,022t t <<<<即时,()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减,在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点。
若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+<⎪⎝⎭所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点。
所以,对任意(0,2),()t f x ∈在区间(0,1)内均存在零点。
综上,对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。
2. 已知函数21()32f x x =+,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值;(Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---;(Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥L .本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解:(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥,2()312F x x '∴=-+.令()0F x '∴=,得2x =(2x =-舍去).当(0,2)x ∈时.()0F x '>;当(2,)x ∈+∞时,()0F x '<,故当[0,2)x ∈时,()F x 为增函数;当[2,)x ∈+∞时,()F x 为减函数. 2x =为()F x 的极大值点,且(2)824925F =-++=.(Ⅱ)方法一:原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---,即为4222log (1)log log log x -=,且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时,1x a <<,则14a xx x--=-,即2640x x a -++=,364(4)2040a a ∆=-+=->,此时3x ==±1x a <<,此时方程仅有一解3x =②当4a >时,14x <<,由14a xx x--=-,得2640x x a -++=,364(4)204a a ∆=-+=-,若45a <<,则0∆>,方程有两解35x a =±-; 若5a =时,则0∆=,方程有一解3x =; 若1a ≤或5a >,原方程无解.方法二:原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-, 即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=-,10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时,原方程有一解35x a =--; ②当45a <<时,原方程有二解35x a =±-; ③当5a =时,原方程有一解3x =;④当1a ≤或5a >时,原方程无解.(Ⅲ)由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++L L ,1431()()666n f n h n n +-=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1()()6n S f n h n =-(*n ∈N )从而有111a S ==,当2100k ≤≤时,14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--.又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =⋅++--106(43)(41)1k k k k =⋅>++--. 即对任意2k ≥时,有k a k >,又因为111a ==,所以1212n a a a n +++≥+++L L . 则(1)(2)()n S h h h n ≥+++L ,故原不等式成立. 3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a ,使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立.注:e 为自然对数的底数. 【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力。
满分15分。
(Ⅰ)解:因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-由于0a >,所以()f x 的增区间为(0,)a ,减区间为(,)a +∞(Ⅱ)证明:由题意得,(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由(Ⅰ)知()[1,]f x e 在内单调递增,要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立,只要222(1)11,()f a e f e a e ae e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得.a e =4. 设21)(axe xf x+=,其中a 为正实数. (Ⅰ)当34=a 时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围.【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.解:对)(x f 求导得.)1(1)(222ax axax e x f x+-+=' ①(I )当34=a ,若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知所以,21=x 是极小值点,22=x 是极大值点.(II )若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合①与条件a>0,知0122≥+-ax ax在R 上恒成立,因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ,知.10≤<a5. 已知a ,b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数的底数)。