2 2 2 2 umn x, y, z Cmn H m x H n 1 2 ws 1 2 ws 2 x2 y2 exp 1 2 w2 exp i x, y, z s y
m、n分别为沿镜面极坐标系的径向暗 环数和角向暗直径数（不含中心点）
(2) 本征值σmn和单程衍射损耗、单程相移 损耗主要指衍射损耗。对于一次渡越的衍射损耗（单程衍射 损耗）用δ表示。定义为

uq uq 1 uq
2
2
2
uq1 uq
功率损耗
2 mn 1 mn
积分方程的核 umn为本征函数 ，σmn 为本征值
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )umn ( x' , y ' )ds'
umn和σmn的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征 值解，说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模
积分方程解的物理意义
例题
1、He-Ne激光器的中心波长是6328Å，其线宽是Δvf＝ 1.5×109Hz，试计算腔长分别为L1 =10 cm 以及L2 =30 cm时， 激光腔内可能存在的最多纵模数？
vq
c 2L
＝ .5 109 Hz, 0.5 109 Hz 1
L=10cm, n=2 L=30cm, n=3
单程衍射损耗:
衍射损耗定义： mn 1 mn
2
mn e
i[ kL( mn1) ] 2

mn 0
单程附加相移与谐振频率:
一般忽略不计
单程附加相移： mn kL arg mn (m n 1) 谐振频率： νmnq

2
qc c mn 2L 2L
c 3 108 L 0.2 m 9 μΔν 1.5 10
腔长最长不得大于 0.2m
4、横模和纵模之间的联系
横模：谐振腔所允许的光场的各种横向稳定分布 纵模：谐振腔内沿纵向（光的传播方向）不同的稳定的光场分布
纵模和横模各从一个侧面反 映谐振腔内稳定的光场分布。 只有同时用纵模和横模概念才 能全面反映腔内光场的分布
因 L, R >> a >>λ ，故 cosθ＝1， 又用了L代替ρ(一般不可替换) 自再现模所满足的积分方程：
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )umn ( x' , y ' )ds '
其中 : ik ik ( x , y , x ', y ') i ik ( x , y , x ', y ') K ( x, y , x ' , y ' ) e e 2L L
X 2 Y 2 2
mn e
i[ kL( mn1) ] 2

其中： Cmn为与m、n 有关的常量
X x
2 2 , Yy L L
Hm(X ) 和 Hn(Y )均为厄密多项式
本征函数： umn Cmn H m ( X ) H n (Y )e
其中： X x
2 2 ,Y y L L
νm νn νq 2
方形镜共焦腔的振荡频谱
2、共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
1） 求解方法
腔内光场: 驻波分布
由镜面M1、 M2上的场在腔内造成的行波（叠加）形的；基 尔霍夫衍射公式计算； 腔外的光场 腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分，即行波函数 乘以镜面的透射率t.
2）将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得腔内场分布： 选择腔的中心为坐标原点
σmn的模反映自再现模在腔内单程渡越（传输）时所引起的 本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关
uq1 uq arg uq1 arg arg uq
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为
arguq1 arguq arg
单程总相移相对于几何相移（由腔长L决定）产生附加相移 Δφ ：
其中q=1, 2, 3….
每个q值对应一个驻波；谐振腔内形成的每一列驻波称为一 个纵模，q为纵模序数
纵模频率
kL
2 2q k 2ν c
（2） 纵模频率间隔
qc c qc νmnq mn 2 L 2L 2 L
一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定；
菲涅耳干涉概念：子波源所发的波应该是相干的 菲涅尔－基尔霍夫衍射公式：基尔霍夫进一步利用格林函数法
求解波动方程，得到原理的数学表达式
ρ
ik u ( P) 4
u' (P)

eik

(1 cos )ds'
2、光学谐振腔的自再现模积分方程
ws xs2 ys2 L
位相分布: umn Cmn Fm ( X ) Fn (Y )
Fm ( X ) H m ( X )e X
2
2
, Fn (Y ) H n (Y )e Y
2
2
由于umn(x, y) 为实函数，所以共焦腔反射镜面的光场是一个等相位 面 (无论是基模，还是高阶模)

X 2 Y 2 2
Cmn为与m、n 有关的常量
Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式： H 0 ( X ) 1
H1 ( X ) 2 X
参考书： 《激光原理》周炳琨主编 国防工业出版社 《激光物理学》邹英华、孙陶亨编，北京大学出版社
H2 ( X ) 4X 2 2 2 dm X 2 H m ( X ) (1) m e X e m dX
(1) 本征函数umn和激光横模
本征函数umn: 表示在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就 是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。 umn的模：对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，
umn的幅角：代表镜面上光场的相位分布
方形镜共焦腔模式花样（轴对称）
圆形镜共焦腔模式花样（旋转对称）
*
m、n分别为横截面上x、y方向出 现的节点（场强为零的位置）数
问题：如果已知某一镜面上的场分布，如何求解出在衍射作
用下经腔内一次渡越（传播）而在另一个镜面上生成的场？
菲涅耳－基尔霍夫衍射公式:
可以给出空间某一点（或某一表面）上的场与处于有限距离 上的另一个表面上场的关联。
1、菲涅耳--基尔霍夫衍射公式
为惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式
惠更斯子波概念：波面上每一点可看作次球面子波的波源，下
可得：
去掉下标：
u ( x' , y ' )
q M'
e ik

(1 cos )ds'
ik u q ( x, y) 4
u
q
( x' , y ' )
e ik
ik u( x, y) 4
u( x' , y' )
e ikBiblioteka (1 cos )ds'

(1 cos )ds'
《激光原理与技术》
第4章 激光器的输出特性
目录
1 4.1 光学谐振腔的衍射理论
2
3 4 4 2
4.2
4.3 4.4 4.5 4.6
对称共焦腔内外的光场分布
高斯光束的传播特性 稳定球面腔的光束传播特性 激光器的输出功率 激光器的线宽极限
1
4.7 激光光束质量的品质因子M2
4.1
光学谐振腔的衍射理论
书中有误
2） 镜面上自再现模场的特征
本征函数： umn Cmn H m ( X ) H n (Y )e
X 2 Y 2 2
振幅分布:
则有
令 Fm ( X ) H m ( X )e
umn Cmn Fm ( X ) Fn (Y )
X 2 2
,
Fn (Y ) H n (Y )e
Y 2 2
不同的纵模和不同横模都有各 自对应不同的光场分布和频率。
同一q值下不同横模表现
4.2
对称共焦腔内外的光场分布
对称共焦腔：由两个曲率半径相等的凹球面镜构成，它们
的焦点重合并在曲率中心连线上
对称共焦腔 以方形镜面的对称共焦腔为例，求解积分方程，获得 共焦腔镜面上的场分布 共焦腔中行波场与腔内外的场分布
将衍射积分公式运用到光学谐振腔
由M’上的光场分布可以计算出M上 的场分布函数
假设uq ( x’, y’ ) 为经过 q 次传播后在 M’上形成的场分布， uq+1( x, y ) 为经过 q+1次渡越到达 M 所形成的场分布， 则uq+1与uq之间应满足如下的迭代关系：
ik uq 1 ( x, y) 4
2 2 I mn umn Fm ( X )Fn2 (Y )
Fm(X) ~X 及 Fn(Y) ~Y 的
变化曲线及
相应的光强 分布
特例：基横模 TEM00
TEM00 的场分布： u00 C00e
x2 y 2 L
u00max= C00 , 位置：镜面中心
当 x2+y2 =λL /π, u00=C00 /e 定义：镜面上光斑有效截面半径
讨论激光器中所用的开腔式谐振腔（没有侧面边界的腔）
问题： 开腔中是否存在不随时间而变化的稳定电磁场分布即是否存 在电场场的本征态？应该如何求出这些场分布？
几何光学 波动光学 讨论谐振腔振荡模式、光束结构及传输特性、衍射损耗等， 该理论建立在模式再现概念及惠更斯-基尔霍夫衍射积分公 式基础上。