| P(A) |? Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?
?
Cn?1 n
?
Cnn
?
2n
?
2A
3.1 集
练习1 设b}} 列论断是否正确？
合 (1)a ? A ( ? )
的 (2){a} ? A ( ? )
基 (3){a} ? A ( ? )
本 (4)?? A ( ? )
概 念
(5)?? A ( ? )
的
所组成，也就是说a∈A 当且仅当 a 满
基
足性质 P。
本
概
念
练习
3.1 1. 用列举法表示下列集合
集 合
（1）A ={a|a∈P 且 a<20}
{2,3,5,7,11,13,17,19}
的
（2）B={a|| a|<4 且a为奇数 }
{-3,-1,1,3}
基
本
概 2. 用描述法表示下列集合
念
(1) A={0,2,4,…,200}
三、幂集（ PowerSet ）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
3.1
的集合称为 A的幂集，记作 P(A)。
集 例3 A=? ，B={? ，a，{a}}
合
P（A）＝?
的
P（B）＝｛? ，｛? ｝，｛a｝，{{a}}，{?
基
，a}，｛? ，｛a｝｝，｛a，｛a｝｝，｛?
本
，a，｛a｝｝｝
不包含
A ? B ? ? x (x? A ? x? B)
相等
A=B? A? B? B? A
不相等
A?B
真包含
A? B? A? B?A?B
不真包含
A? B
思考： ? 和 ? 的定义
注意 ? 和 ? 是不同层次的问题
例1 A={a, b, c, d}, B={a, e, x, y, z}, C={a, x} 则 C ? B，C ? A，B ? A， A ? B
定理 空集是任何集合的子集
?? A ? ? x (x??? x? A) ? T
推论 空集是惟一的. 证 假设存在? 1和? 2，则? 1?? 2 且? 1?? 2，因此
? 1=? 2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即? A (A? E )
{2x|x∈Z且x≤100}
(2) B={2,4,8,…,1024}
{2n |n ∈N且n≤10}
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系 属于? ，不属于 ?
实例 A={ x | x ? R? x2-1=0 }, 1 ? A, 2? A
A={-1,1}
注意：对于任何集合 A和元素x(可以是集合 )，
练习2 列出集合A={1,{2}}的全部子集。
典
解 因为? 是任何集合的子集，所以?
型 习 题
是A的子集。由A中任意一个元素所组成的 集合是A的子集，所以{1}和{{2}}是A的子 集。由A中任意两个元素所组成的集合是A 的子集，所以{1,{2}}是A的子集。因为A中
概
据结构、操作系统、数据库、知识库、编译原
念
理、形式语言、程序设计、人工智能、信息检
与
索、CAD 等。
运
算
一、什么是集合 ？
-只能给予直观的描述。所谓集合（ Set），
3.1
就是把人们直观的或想象中的某些确定的能 够区分的对象汇合在一起组成的一个整体。
集
-组成集合的各个对象，称为这个集合的元素
合
（Element）或成员（ Member）。
念
注：设A是有限集，则
P( A)
?
2Hale Waihona Puke A.证明 设A= {a1, a2 , … , an},从n个元素中选
3.1 集
取m个元素的方法有 Cnm种，所以A的子集
合 个数为
的 基
Cn0 : ?
本
Cn1 :{a1 a2} ,…{an}
概 念
C…n2 :{a1, a2 a1, a3} …
Cnn :{a1, a2 , … , an}
集合的包含关系具有如下几条性质：
3.1
⑴对任意集合A，?? A；
集
⑵自反性：A? A
合 的
⑶反对称性：若 A? B且B? A，则A＝B
基 ⑷传递性：若 A? B且B? C，则A ? C
本 概
⑸若|A|＝n，则A有2n个子集
念
空集与全集
空集 ? 不含任何元素的集合
实例 {x | x2+1=0? x? R} 就是空集
第3章 集合的概念
集合的概念
集合是数学中最重要的概念，集合理论是
数学中最重要的理论。
第
十九世纪七十年代，威尔斯特拉斯、戴德
3
金、康托尔等人深入研究实数理论，建立起极
章
限论的基本定理，不仅为微积分建立起严格的
集
理论基础，也导致了集合论的诞生。
合
集合论分朴素集合论和公理化集合论。
的
集合论被广泛应用在计算机科学中，如数
的
?①通常，用大写字母 A，B，C，…表示集
基
合，用小写字母 a，b，c，…表示元素。
本
?②集合与元素之间的关系－“属于”关系
概
- a? A a? B
念
二、集合的表示
⑴列举法
3.1
- 将集合中的元素一一列举出来，或者列出
集
足够多的元素以反映集合中成员的特征，
合
并用花括号将元素括起来，其表示形如：
的
(6)b ? A ( ? )
(7){b} ? A ( ? )
，试指出下
(8){b} ? A
( ?)
(9){a,b} ? A ( ? )
(10){a,b} ? A ( ? )
(11)c ? A
( ?)
(12){c} ? A
( ?)
(13){c} ? A
( ?)
(14){a,b,c} ? A ( ? )
x? A和 x? A 两者成立其一，且仅成立其 一.
隶属关系的层次结构
例 3.1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}? A b? A {{d}}? A {d}? A d? A
一、集合之间的关系
包含（子集） A ? B ? ? x (x? A ? x? B)
3.1 集 合 的 基 本 概 念
概
念
集合的基数
设A 为任一集合，用 |A|(或#A)表示A中不
3.1
同元素的个数，称为集合 A的基数，有：
集
?若|A|=0，则称A 为空集合（ Empty
合
Set），记为? ；
的
?若|A|为某自然数，则称 A 为有限集合
基
（Finite Set ）；
本
?若|A|为无穷，则称 A 为无限集合（
概
Infinite Set ）
?A={a1 ，a2，…，an}
基
?A={a1，a2，a3, …}
本 概 念
- 列举法必须把元素的全体尽列出来，不能 遗漏任何一个，并且集合中的元素没有顺 序之分且不重复。
⑵谓词表示法
- 用一个谓词来描述集合中元素具有的共同
3.
性质。
1
?表示形式如 A={x|P(x)}
集
?意义是：
合
?集合A 由且仅由满足性质 P 的那些对象