4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
若v0=vk,则通路称为回路.
若Γ 中各边互不相同,则称Γ 为简单通路,若v0=vk,则称Γ 为简单回路.
三.图的同构
设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>为两个无向图,若存在双射函数
f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当 e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构.
记作G1≌G2.
a e
b c
(1)
d (2)
V4 V1
V5
V3 V2
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
图 7.10
e5
1 1 1 0 0
M (G) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2
0 0 0 0 0
1 1 1 0 0
性质:
n
(1) mij 2( j 1,2,..., m) i 1 m
M (G) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0
G
1
1
1
5
5
2
5
2
2
3
4
3
4
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
3
4
5 阶完全图
1
1
1
2
3
2
3
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
2
3
3 阶有向完全图
二.握手定理(图论基本定理)
任何图G中各顶点的度数之和等于边数的2倍.
若G为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和. 都等于边数.
n
即 d (vi ) 2m i 1
定理1:在一个n阶图中,如果存在vi到自身的回路, 则从vi到自身存在长度小于等于n的回路.
推论:在一个n阶图中,如果存在vi到自身存在一条简单回路, 则从vi到自身存在长度小于等于n的初级回路.
2.顶点之间的连通关系
在无向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi与vj连通. 规定顶点与自身连通.顶点之间的连通关系是等价关系. 在有向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi可达vj. 规定任何顶点与自身可达. 3.短程线与距离
<v4,v5>,<v5,v4>}
e1
e1
e2 V2
V5
e3
V1 e4
e6 V4
e5
V1 e2 V2
e5 e3
e4
V5 e7
e8
V3
V4
V3
e6
(1)
图 7.1
(2)
3.零图与平凡图 若G=<V,E>中,E=φ ,则称G为零图.若|V|=1,则称G为平凡图. 4.关联与相邻 设图G=<V,E>, u,v∈V, (u,v)∈E(有向图<u,v>∈E) 常记e=(u,v)(或有向图e=<u,v>),称u,v为e的端点. (对有向图中的有向边来说,称u为e的始点,v为e的终点) 称e与u或v是彼此相关联的;无边关联的顶点称为孤立点. 若e关联的两个顶点重合,则称e为环; 若u≠v,则称e与u(或v)的关联次数为1; 若u=v(即e为环),则称e与u关联的次数为2; 若顶点u,v之间有边关联,则称u与v相邻; 若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.
i1 j1
i1
i1 j1
i1
3.有向图的邻接矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},|E|=m 令a(1)ij为vi邻接到vj的边的条数,
(a ) 则称 (1) 为D的邻接矩阵,记为A(D). ij nn
若D中任何两顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图
若D中任何两顶点都是相互可达的,则称D是强连通图. 注)D是强连通图⇒D是单向连通图⇒D是弱连通图.
1
4
1
4
1
4
2
3
(1)强
2
3

3
(2)单
(3)弱
二.点割集与边割集
1.点割集与割点
若无向图G=<V,E>中,存在V’⊂V,使得p(G-V’)>p(G),而任 意的V”⊂V’,均有p(G-V”)=p(G),则称V’为G的点割集.若 V’={v},称v为G的割点.
若vi与vj连通(有向图,若vi可达vj),则称vi到vj长度最短的 通路为vi到vj的短程线,短程线的长度称为vi到vj的距离,用 d(vi,vj)表示.(对于有向图,用d<vi,vj>表示). 说明:若vi与vj不连通(对于有向图,若vi不可达vj),
则规定d(vi,vj)=∞(d<vi,vj>=∞). 其他情况满足距离公式.
G的最小度:δ (G)=min{d(v)|v∈V(G)}
V1
V2 V5
V2 V4
V3
V3 (1)
图 7.1
V1 V5
V4 (2)
6.简单图
对于无向图,若关联一对顶点的边多于1条,则称这些边 为平行边.
对于有向图,关联一对顶点的方向相同的边,如果多于1 条,则称这些边为平行边.
既不含平行边,也不含环的图,称为简单图.
1
2
5 2
4
3
(1)K4
3
4
(2)K5 图 7.2
2
3
(3)
8.子图 设G=<V,E>,G’=<V’,E’>,若V’⊆V, E’⊆E, 则称G’为G的子图.记作G’⊆G. 若G’⊆G且G’≠G,则称G’为G的真子图. 若G’⊆G且V’=V,则称G’为G的生成子图. 若V1⊆V且V1≠φ ,称以V1为顶点集,以两个端点均在V1 中的边为边集的图为V1的导出子图. 若E1⊆E且E1≠φ ,称以E1为边集,以E1中边关联的顶点 为顶点集的图为E1的导出子图. 注)每个图都是本身的子图.
n
n
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
其中G V , E ,V {v1, v2,..., vn},| E | m
推论:任何图G中,奇度顶点的个数为偶数. 说明:图G的度数序列为{d(v1),d(v2),…,d(vn)}
例7.1 (1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列 吗?为什么? (2)已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶 点的度数均小于等于2,问G中至少有多少个顶点?为什么?
V7
V0
V0
V1
V2
V3
V4
(4)v0 到 v8 长为 8 的简单通路
图7.7
V1 V5
V2 (8)v0 到 v0 长为 8 的简单回路
V4
V3
V6 V5 V4
V3
定理1:在一个n阶图中,若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路, 则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路.
推论:在一个n阶图中,若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路, 则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.
令mij= 0, vi与ej不关联 -1, vi为ej的终点
则称(mij)n×m为D的关联矩阵.记为M(D).
e2
V1
V4
e1
e3
e4
V2
V3
e5
图 7.11
1 1 0 0 0
M (D) 1 0
1
1
1
0 0 0 0 1
0
1
1 1
0
1 1 0 0 0
性质:
n
mn
(1) mij 0, j 1,2,..., m,即 mij 0
V8
V2
V7
V0
V0
V1
V2
V3
V4
(3)v0 到 v8 长为 8 的简单通路
图7.7
V1 V5
V2 (7)v0 到 v0 长为 8 的简单回路