无向图G=(V,E) : 边、自环、孤立点
v3 v4
{v,u} ∈E, 称{v,u}是G中一条
v1 v2
v5
边和点：关联 点和点：相邻 边和边：相邻
边。称V为顶点集， 称E为边 集。 设e={v,u} 是G中的一条边， v 和u称为边e 的二个端点，称边 e关联 v和u，也称v 邻接到u， 或 u邻接于v。 若 u=v ，称 {v,u} 为 G中的自环。 对于任意的u ∈ V ，若不存在 任何边关联 u，说顶点 u是孤立 点。
则称二元组G=(V,E)是一个无向图， 例1(p136) 图G=(V,E)， V={v1, v2, v3, v4, v5}， E={ {v1,v2},{v2,v3}, v4 {v3,v3},{v3,v4}, {v2,v4},{v4,v5}, {v2,v5},{v2,v5} }
v3 v1 v2
v5
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则称图G1和ห้องสมุดไป่ตู้G2是同构的两个图，记为
G1≅G2， 并称f为图的同构映射，。
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完全图 Kn
一个简单图，若每一对不同的顶点之间都有一条边相 连，这样的图称为完全图。 一个有n(∈N)个顶点的完全图在同构的意义下是唯一 的，记为Kn。
.
K1 K2 K3 K4 K5
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子图、真子图、生成子图
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有向图 G=(V,E)
定义1 设V是一个非空有限集合， E是V上的二元关系。 则称有序二元组G=(V,E)是一个有向图， 并称V 为顶点集， E为边集。 其中，边集E为有序二元组所构成的集合。
例 设V={2，3，4，5，6} ，E={(x, y)|x整除y}, 即 E={ (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6) } 画出有向图G=(V,E)
.
.
.
.
（0，人狗羊菜）
.
（人羊，狗菜）
（菜，人狗羊） （人羊菜，狗）
V={被允许出现的局面} E={顶点之间的关系|一次摆渡能够从一局面变为另一局面}
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9.1 图的基本概念
(一) 有向图 (二) 无向图 (三) 图的同构 (四) 完全图 (五) 握手定理
顶点集、边集 多重边、自环、孤立点 简单图/多重图 图的同构映射 子图、生成子图、补图 有向完全图 顶点的度数 入度、出度
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例 K4所有互不同构的生成子图有多少？
11个！
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补图
设G=(V,E)是一个图，它没有自环和多重边。
令 G=(V,E’)，
其中 E’={ {u,v} │u≠v，u,v∊V，{u,v} ∉E} 称 G 为 G的补图。
例 下面两图互为补图：
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自互补图
一个无向简单图如果同构于它的补图，
2
6
4
3
5
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多重集
约定一个多重集是一些对象的总体，但这些对 象不必不同。如: {a, a, a, b, b, c}
{a, a, a}
{a, b, c}
一个元素的重数是它在该多重集里出现的次数
集合仅是多重集中重数仅为0和1的特殊情况
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无向图G=(V,E)
定义2 设V是一个非空有限集合， E是一个多重集合， E的元素是仅含V中两个元素的多重子集。
离散数学
数理逻辑
图论
代数
集
合
论
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一个人要把他带的一条狗，一只羊和一袋菜用一 条小船摆渡到河的对岸。每次摆渡这个人只能将 狗、羊和菜之一带过去。但是，不能把狗和羊， 也不能把羊和菜单独的留在河的同一岸。
（狗，人菜羊） （人羊狗，菜） （人狗羊菜， ０）
.
.
（人狗菜，羊）
.
.
.
（羊，人狗菜）
（狗菜，人羊）
定义4 设G=(V,E), H=(V’,E’)是两个图。 若V’ ⊆V且E’ ⊆E，则说 H是G的子图。 若V’ ⊂ V或E’ ⊂ ≠ E，则说 H是G的真子图。 ≠ 若H是G的子图且V’=V，说H是G的生成子图。
例: K4的真子图 K4的生成子图
K4
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例 K4的所有的生成子图有多少？
64个！
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多重图、简单图
• 一个图，有向图或无向图，其边集若是多重 集，称这样的图为多重图，也简称图。 • 若一个图，也就是多重图，其重数大于1的边 称为多重边，又称有这样边的图为有多重边 的图。 • 称一个没有多重边，没有自环，也没有孤立 点的图为简单图。 • 若不声明是简单图，就泛指图或多重图。
∑ d(v) = 2|E| v∊V
2
3
3
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推论 任何一个无向图，度数为奇数的顶点有偶数个。
证明：设 G=(V,E)是一个无向图。令 V1={ v∊V│d(v)是奇数}， V2={ v∊V│d(v)是偶数}， 显然{V1， V2} 是V的一个划分。
∵ ∑ d(v)=
v∊V v∊V1 v∊V
∑ d(v) ∑ d(v)
则称这个图为自互补图。
例 4个顶点的自互补图：
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例 试画出五个顶点的自互补图
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顶点的度数
设G=(V,E)是一个图，
对于每一个v∊V，
称关联顶点v的边数为顶点v的度数，记为d(v)。
2
3
3
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定理1 (握手定理)
设G=(V,E)是一个图，对于每一个v∊V， d(v)为顶 点v的度数。则:
+
v∊V2
∑ d(v)
∴ ∑ d(v)=
v∊V1
－ ∑ d(v) v∊V2
容易说明，等式右端是偶数，而等式左端 是|V1|个奇数相加，故|V1|为偶数。
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例2 有9个人在一起打乒乓球，已知他们每人至少 和其中另外3个人各打过一场球，则一定有一 个人不止和3个人打过球。用图论语言解释这 件事。
2
6
4
3
5
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有向图G=(V,E): 边、孤立点、自环
若(a,b) ∊E，称(a,b)为图G中一条边。
设(a,b) ∊E，称边(a,b)关联于顶点a和b，顶点a称为该 边的始点，顶点b称为该边的终点，并称a和b相邻。
若一个顶点没有任何边关联于它，称该顶点为孤立点。
若一条边的始点和终点是同一顶点，称该边为自环。
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图的画法不同、实质相同
V4 U1 U2
V1 V2 V3 U4 U3
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图的画法不同、实质相同
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图的同构 G1≅G2
定义3 设G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)是两个图， 若存在函数f:V1→V2，f是双射， 且若定义函数g:E1→E2， 对于任意的{v1,v1’} ∈E1， g({v1,v1’})={f(v1),f(v1’)}， g也是一个双射。