中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。

且4=x 时，8=y 。

于是)6()3(分分2488223300837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dy y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限 11lim222200-+++→→y x y x y x . 解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x (3分)2)11(lim 2200=+++=→→y x y x (6分)13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)z F x y z z e xy =+-，则 x F y =-， y F x =- ，1z z F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)222111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y x y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. (3分)故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 (6分)15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182x yyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分)16、计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝13200d r drπθ⎰⎰＝8π(6分)17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是)(1)1()1(C dx e x e p dxdx +⎰⎰=---⎰)(1C dx e x e x x +=-⎰])1([1C e x e xx++-=-xe C x 1)1(++-= (3分)⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ (6分)18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.-=(3分)因为lim 11n n →∞== (6分)19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . (6分)20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 (3分)0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++ (3分)2233113311331111333311331133x y z zx y x y x y x yx yx x x y --∂∂+=⋅+⋅∂∂++⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭(6分)22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分) 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n nn v u收敛。

(6分)06年B 卷一、填空题(每小题3分,共15分)1、设22(,)yf x y x y x -=-，则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =.4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以xx e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6、已知dx e p x⎰∞+- 0 与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值点8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ).(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 2)(+=(C) x e bx ax y 22)(+= (D)xe bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna 收敛，则级数∑∞=1n na( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 00xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂.14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰010d e d yx x xy .16、计算二重积分D ,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑=12n na与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛.07年A 卷一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z=，则=z .2、计算广义积分⎰∞+ 13x dx= .3、设xye z =，则=)1,1(dz .4、微分方程xxe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.5、设14n n u ∞==∑，则11122n n n u ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_________二、选择题(每小题3分,共15分)6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D)不存在7、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是( ).(A)d d θπr r r42202-⎰⎰(B)204d rπθ⎰⎰(C)20d rπθ⎰⎰(D)442012d d θπr r r-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，xe y =2，xe y 23=，则其通解为( ).(A) xx e C e C x 221++ (B) x x e C e C x C 2321++ (C) )()(221x x x e x C e e C x -+-+ (D))()(2221x e C e e C xx x -+-10、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n (p 为任意实数) ( ). (A) 收敛 (B) 绝对收敛(C) 发散 (D) 无法判断三、计算题(每小题6分,共60分)11、求极限0x y →→.12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.13、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂.14、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.16、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域.17、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f .18、求解微分方程212yyy'-+''=0.19、求级数nn∞=的收敛区间.20、判定级数∑∞=⋅1!)2sin(nnnx是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛.22、设)(22y x f yz -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.07（A ）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。