二维logistic离散动力系统的参数分析
【摘要】提出了一种二维logistic离散动力系统，讨论了系统参数对系统基本动力行为的影响，得到了相关的定理。

同时对系统的分叉进行了分析，并通过数值示例进行仿真，对文中论述进行了强有力的验证。

【关键词】logistic映射；混沌系统；超浑沌系统；分叉
1. 引言非线性动力系统大体分为连续系统和离散系统两大类，连续系统可以根据庞克莱截面方法转换为离散系统，所以对离散混沌系统的控制问题进行研究具有普遍意义。

Logistic映射[1-3]是1976年由数学生态学家R. May在英国《自然》杂志上发表的一篇后来影响深广的综述中提出的，后来经过Feigenbaum的出色研究，得出系统一旦发生倍周期分岔[4-9]，必然导致混沌现象的产生。

对于一维Logistic映射及其推广的形式，研究的比较早也比较详细。

但是一维Logistic 映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条直线或者曲线，为了绘制一幅图像，至少需要两个及两个以上的自由度，为此就需要构造二维及更高维的系统，分析图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系等。

文献[4，，5]对一类三维混沌系统研究了它的hopf分叉，文献[7]对同类的共轭lorenz系统进行了控制，文献[6]对一类耦合Logistic离散动力系统进行了动力学分析，研究了相应的分叉值等。

在此基础上，本文对二维Logistic离散动力系统[6]。

xn+1=axn（1-λxn）
yn+1=（b+cxn）yn（1-λyn）（1）
进行了参数动力学分析，并对通过计算机对系统的在不同参数下的分叉作了仿真。

2. 参数分析系统（1）的Jacobian矩阵为
J（x，y）=a（1-2λx）0
cy（1-λy）（b+cx）（1-2λy）（2）
由于（2）式是对角的，所以可以给出Lyapunov指数为
定理1 n∈N ，当a∈[0，4λ]，x0∈[0，a4λ] ，则xn∈[0，a4λ]
定理2 n∈N ，当a∈[0，4λ] ，x0∈[0，a4λ] ，y0 ∈[0，4λb+ac16λ2]，b ∈[0，4λ-ac4λ]， c ∈[0，16λ2a]，则yn∈[0，4λb+ac16λ2]
证明：当n=0 时，0≤y0 ≤4λb+ac16λ2，假设当n=k 时，有0≤yk ≤4λb+ac16λ2 ，下证当n=k+1 时，有0≤yk+1 ≤ 4λb+ac16λ2
因为16λ24λb+ac（b+cxk）yk（4λb+ac16λ2-yk）≥0，所以（b+cxk）yk（1- 16λ24λb+acyk）≥0，又因为00，e2 3.5699457，b=3.5 ，c=0.5 时，x和y都达到浑沌状态，即系统为超浑沌系统。

从图3，图6中更能看到当a>3.5699457 ，b=4 ，c=-1 时，系统亦为超浑沌系统。

4. 结论本文在经典logistic映射的基础上，提出了一种二维logistic离散动力系统，通过对系统参数变化的讨论，得到了有关系统基本动力行为随参数变化而被影响的几个定理。

同时对该离散系统的分叉进行了分析，并通过数值示例进行仿真，对文中论述进行了强有力的验证。