销量预测问题
一、 摘要
本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。

模型由简单到复杂、由理想到现实，逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了广告费用对销售量产生的影响，建立比较符合现实的模型。

问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。

问题二中，产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dt dx
与该产品的潜在
容量)(t x N -成正比，故建立阻滞增长模型求解。

问题三中，则考虑了广告费用对产品销量的影响，分析了广告费用与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了Matlab 软件编程求解。

二、 问题提出
一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。

如何采取有效措施，使得产品销量大，获取更大的利润，这是每个经营者最为关注的问题。

1、设t 时刻产品销量的增长率dx
dt 与)(t x 成正比, 预测t 时的产品销量()t x ； 2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt dx
与该产品的潜在
容量)(t x N -成正比, 预测t 时的产品销量()t x ；
3、试考虑影响产品销量的广告因素，并建立模型，预测t 时的产品销量()t x .
三、 模型假设与符号系统
模型假设：
模型基本假设：；
假设1：在考虑影响商品销售的因素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政治干预等；
假设2：产品的销售量符合产品的生命周期；
假设3：产品为日常用品，不是耐用品，每个人都需要。

符号系统：
x(t) 为t 时刻新产品的销售量 a 为每件新产品的宣传效率 N 为市场的销售容量
b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数
s(t) 为商品t 时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不是总销售量)
M(t) 为t 时刻的广告费用
θ 为销售量本身的衰减系数 ∂ 为广告宣传对销售速率的影响 T 为商品销售速率最大的时刻
四、 模型的建立与求解
问题一模型的建立与求解：
模型的建立：
t 时刻时，新产品的销售量为x （t ），把x （t ）当做连续、可微函数处理。

每件新产品都是宣传品，且单位时间内每件新产品能够使a 件新产品被销售。

由假设可知：
x(t+∆t)-x(t)=ax(t)
即：
dx ax dt = 开始时有0x 件新产品被销售
x(0)= 0x
整理得：
(0)0dx
ax dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩
求解得：
()0at x t x e =
问题二模型的建立与求解：
模型的建立： 事实上，()t x 往往是有上界的。

针对模型上述欠缺，我们来修改模型,统计表明
dt
dx
与该产品的潜在销量成正比，且设b 为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数 则：
(())dx
b N x t dt =-
用matlab 软件求解得：
(1)0()bt bt N e x x t e --=
问题三模型的建立与求解：
模型的建立：与实际情况比较，所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。

然而事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。

因此我们需要做一下在广告干预下的模型。

另由图像分析可知
商品的销售速度与广告费用成正比，即
()ds
M t dt ∝
但是在市场趋于饱和，销售量趋于极限值N 时，销售速度将会下降（广告作用下降，当s （t ）趋近于N ，广告作用趋近于零）。

产品生命周期一般分为四个阶段：
引入期：指新产品投入市场的初期阶段，也叫投入期。

因这一阶段，用户对产品不太了解，需要做大量的广告宣传工作，向用户推荐介绍产品，所以这一时期也叫做介绍期。

成长期：市场销售量迅速增长的阶段。

成熟期：销售量很大，而且稳定，增减幅度不大。

销售量最高点也是在这一时期。

衰退期：产品已经陈旧老化，销售量下降很快。

由产品的生命周期可知，自然衰退是商品销售速度的一种性质，即产品销售速度随销售量的增加而下降。

()1ds s t dt N ∝-
由于商品本质属性中销售衰减期的存在，所以我们建立模型如下：
()()
()(1)()ds t s t M t s t dt N θβ=∂--+
特别：M(t ）=0，s （t ）=N 时，得到
()
()ds t s t dt θ=-
若M(t ）复杂，则方程难以解出。

考虑到销售速度与广告宣传的关系，当销售进行到一定时刻，无论如何做广告，销售速度都将下降。

故设广告总费用为m ，为讨论方便，设在T 时间内做广告且取M （t ）=m/T,即取广告策略为:
(0)
()0()m
t T M t T
t T ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩
相当于在开始到T 时间内，平均投入广告费用，时间T 后不再作广告。

代入方程：
当0<t<T 时，
()()
(1)()ds t m s t s t dt T N θβ=∂--+
()()m m
s t T TM θ=∂
-+∂(0<t<T)
令
m p TM
θ=+∂
m q T =∂
则方程化为一阶非齐次线性方程
()
()ds t ps t q dt +=
得:
()pt
q s t ce
p -=+
若s （0）=s0，则c=s0-q/p, 从而
()(0)pt q q
s t s e p p -=-+
(1)0pt pt
q
e s e p --=-+
当t>T 时，由 s'(t)=-θs(t) 得：,
s(t)= pt ce -
当t=T 时，由s=s(T)=N s ,由（1）算出得
即
0()(1)(0)()()pt pt
T t N
q e s ce t T p s t s e t T θ---⎧-+<<⎪=⎨
⎪>⎩
)
()(t T n e s t s -=θ。