式中： (i) ——第i个数据的关联系数；
——分辨系数，一般取0.5
第五步计算关联度
1 n (i) n i1
式中： ——数列 X (0) 对 Xˆ
n ——样本个数。
的关联度。
根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
此外，也可计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对关联度 【1】，若对 于给定的 0 0, 有 0 ，则称为关联度合格模型。
100%
i 1,2,..., n
一般要求 i 20% ，最好是 i 10%
平均相对精度：p0 (1 ) 100%
平均相对误差：

1 n1
n i2
|
i
|
一般要求 p0 80% ，最好是 p0 90%
而对于给定的 ，
当

且 n


成立时，(
X 0 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大， 而 X 1 已呈现明显的增长规律性。
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成
序列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
如果数据列为
，令
x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2, 3, , n
dt z(1) (k) 为白化背景值，对应于 x(1) (t)
则灰微分方程对应的白化方程为： dx(1) ax(1) (t) b dt
灰方程也可改写为： az(1) (k) b x(0) (k)
设 aˆ 为待估计参数向量，则
按最小二乘法求解，有：
aˆ

a b
式中：
aˆ (BTB)1BTY

1)


x(0) (1)

b a

eat

b a
; t 1, 2,
,n
xˆ (0) (t 1) xˆ (1) (t 1) xˆ (1) (t )

1 ea

x(0) (1)

b a

eat
;
t

1,
2,
,n
注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种
“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结
果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。
也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式——内涵型表达式：
xˆ (0) (t)


1 1

0.5a 0.5a
t2


b
1
a
x(0) (1) 0.5a
;
t

1,
2,
,n
灰色预测的事前检验
由 而得的数列 称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
残差： i x0 i xˆ0 i i 1,2,..., n
残差序列 (0) ( 1 , 2 , n)
相对误差： i

i x0 i
x(1) (1) x(0) (2)
x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(1) (2) x(0) (3)
x(1) (n) x(1) (n 1) x(0) (n)
令 Z (1) 为 X (1) 的均值序列Z (1) ( z(1) (2),
(i) | xˆ (0) (i) x(0) (i) |
第三步计算最小差与最大差
最小差为： Min{(i)} 最大差为： M ax{(i)}
第四步计算关联系数 (i)
(i) Min{(i)} Max{(i)} (i 1, 2, , n) (i) Max{(i)}
若原始数据不适合建立GM(1,1)模型，则进行予处理。
注：GM(1，1)模型中发展系数a的取值范围
a


2 , n1
2 n 1
二、GM（1，1）的建模步骤
三、模型检验
灰色预测检验一般有残差、关联度和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
累加举例：设原始时间序列为 X 0 1 , 2 ,1.5 , 3
一次累加生成列为
X 1 1 , 3 , 4.5 , 7.5
则称 x(0) (k ) 为数列 x(1) 的1- 次累减生成。
一般地，对于r次累加生成数列
则称
为数列
的累减生成数列。
（3） 均值生成
设原始数列
则称
与 为后邻值，
为数列
的邻值，
为前邻值.
对于常数
，则称
为由数列
的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数
时，则称
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非紧邻值生成数
给定序列 X (0) 能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一
般用序列 X (0) 的光滑比 (k) 对 X (0) 作准光滑性检验； 用累加序列 X (1) 的级比 (1) (k) 对 X (1) 作准指数规律
性检验来判断满足建模条件
光滑比定义：
(k)

x(0)(k) x(1) (k 1)
的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生
新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称
为数据的生成。
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累
减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为
，令
则称
为数列
的１- 次累加生成，数列 称为数列
的１- 次累加生成数列。类似地有
称之为
式中： xˆ (0) (i) —— i时期预测值。
xˆ (1) (i) ，xˆ (1) (i 1) ——生成数列预测值，按 xˆ (1) (i 1) 计算。
对于数列预测，要建立多个预测模型，得到多组预测值， 然后进行分析，从中确定出一个合适的预测模型，以取定 一组合适的预测值。
的r- 次累加生成。记
，称之为
ห้องสมุดไป่ตู้
的r- 次累加生成数列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据， 将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数
据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则 进行下去，便可得到生成列。
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 4 灰色预测实例
1灰色预测理论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
根据经验，对给定 , 0 , C0 , p0 的一组取值，就确定
了检验模型模拟精度的等级划分如下表。
通过以上检验，如果相对误差、关联度、均方差比值、 小误差概率都在允许范围之内时，则可用所建模进行预 测，否则应进行残差修正。
表 预测精度等级划分
指标临界值 精度等级
一级 二级 三级 四级
相对误差
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, x(0) (n)
对 X (0) 作累加生成，得到新的数列 X (1，) 其元素
有：
k
x(1) (k) x(0) (m) k 1, 2, , n
m1
x(1) (1) x(0) (1) x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2)
z(1) (2) 1
B



z
(1)
(3)
1





z
(1)
(n)
1
x(0) (2)
Y


x(0
)
(3)




x(
0)
(
n)
将 aˆ 代入
aˆ

a b
，并解微分方程，有
GM
(1, 1)
预测模型——白化响应式（解）为：
xˆ (1) (t

0.01 0.05 0.10 0.20
关联度
0
0.90 0.80 0.70 0.60
均方差比值
C0
小误差概率
p0
0.35
0.95
0.50
0.80
0.65
0.70
0.80
0.60
四、预测 GM(1,1)模型经以上检验合格后可用于预测，其预测公式为：