【6】
2、随机时间序列的特性分析
（1）时序特性的研究工具
1）自相关
构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为 自相关。 自相关程度由自相关系数 k 度量，表示时间序列 中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
k
(X
t 1
nk
t n
X )( X t k X )
2 ( X X ) t t 1
1 w B w B
1 2
2

X t wi Bi X t ut i 0
注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA过 程，即
X t 1 v1B v2 B 2
u
t
v j B j ut j 0
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
5.神经网络方法：大样本的未来预测．
时间序列分析模型
一、时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种 精度较高的时间序列短期预测方法. 通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序 列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. 三种基本类型：自回归（AR：Auto-regressive）模型； 移动平均（MA：Moving Average）模型；自回归移动平均 （ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
p
p B p ，模型可简写为
【2】
( B) X t ut
AR（
p
）过程平稳的条件是滞后多项式
( B)
的根均在单位圆外
（2）移动平均【MA】模型
移动平均序列 ：
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注1：自回归系数 1 ,2 , , p 移动平均系数 1,2 , ,q 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形
注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
( B) X t ( B)ut
注4：ARMA过程的平稳条件是 ( B ) 的根均在单位圆外
可逆条件是 ( B ) 的根都在单位圆外
其中 k 是滞后 k 期的自相关系数， kj k 1, j kkk 1,k j , j 1, 2, , k 1
（2）时间序列的特性分析
1）随机性 如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间 不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该 与0没有显著差异。 2）平稳性 若时间序列满足 1）对任意时间 t ，其均值恒为常数； 2）对任意时间 t 和 s ，其自相关系数只与时间间 隔 t s 有关，而与
（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；
（4）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的 未来预测； 应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
（3）自回归移动平均【ARMA】模型【B-J方法建模】
自回归移动平均序列：
X t 1 Xt 1 2 X t 2 p X t p ut 1ut 1 2ut 2 qut q 【5】
【5】称为 ( p, q) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p, q)
注2：一般假定 X t 均值为B为 【1】可表示为
k
k
k B X t X t k ，则模型 步滞后算子，即
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1, X t 2 , , X t k 1
的条件下， X t 与 X t k 之间的条件相关关系。其相关程度 用偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
k 1 k 2,3,
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
数学建模中的预测方法
1. 插值与拟合方法：小样本内部预测
应用案例：
（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题； （2）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
2.回归模型方法：大样本的内部预测
（1）自回归【 AR 】模型
自回归序列：
X t 1 X t 1 2 X t 2
【1】式称为
p X t p ut
【1】
p 阶自回归模型，记为AR（ p
）
注1：实参数 1 ,2 , , p 称为自回归系数，是待估参 数.随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为 0、方差为 2 的正态分布. 随机项与滞后变量不相关。