1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
在？b) 用爱因(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？(3) 1ψ和2ψ为体系本征态，任一态为c c 1122ψψψ=+。
如果01ψ=，试问：a) 如1ψ和2ψ是经典波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？b) 如1ψ和2ψ是几率波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？(4) 如何知道电子存在自旋？222ˆ1ˆ22p H m m ω=+二、一维谐振子的哈密顿量x ，基态波函数222(),x x αψα-==。
设振子处于基态。
（1997年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求x <>和p <>；(2) 写出本征能量E ，并说明它反映微观粒子什么特征？(3)一维谐振子的维里定理是，试利用这个定理证明： T V <>=<>2x p ∆⋅∆=，其中x ∆=∆三、精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为是半径为p =R ，均匀带电荷Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。
已知球内静电势223，类氢原子基态波函数()22Ze r R R ⎛⎫⎭r ϕ ⎪，球外电势为=-⎝Ze r 1,Zr a s a ψ-=玻尔半径。
用为四、,,j l s 写出ˆˆˆˆ,LS J S ⋅⋅的表达式。
对于 (1) (2) 2,12l s ==，计算确定（2）中和间夹角的可能值，并画出和的矢量模型图。
证明虚ˆˆ的可能值。
LS ⋅ (3) ˆˆLS ˆˆ,L S ˆJ 五、求在一维常虚势场()iV V E - 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并势代表粒子的吸收，用V 表示）。
求吸收系数（1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）分。
请推导相应的几率守恒定律。
求出几率密度与几率、当两个质量为的粒子通过球对称势说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、一个带电粒子在电磁场中运动，流密度的表达式。
m ()0()ln V r A r r =二，（为常数）而束0缚0,0A r >>在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为E ∆。
今有一个质量为m 的粒子与另一个质量为1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。
三、一束极化的波（）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同的两束，其、质量为s 0l =中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为3:1，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。
μ的粒子在一个三维球方势阱中运动，000()(0),V r V V r a ,r a>⎧=>⎨-<⎩ 四问：波束缚态的条件是什么？波相移(1) 存在s (2) 当粒子能量0E >时，求粒子的s 0δ； (3) 证明00lim ,E n n δπ=为整数。
→,0()(0),0z V z G Gz z ∞<⎧=>⎨>⎩五、质量为m 的粒子在一维势场中运动。
(1) 用变分法求基态能量，则在区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一z 0z ≥个？为什么？22,,x z z e ze αα,sin x αα--+(2) 算出基态。
能量值。
1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（实验型）分。
1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释，为什原子光谱主线系的精细结构。
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(么？(2) 解释钠()3np s →(3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？二、一个质量为μ的粒子，处于0x a ≤≤的无限深方势阱中，0t =时，其归一化波函数为(,0)1cos sinx xx t a aππψ⎫==+⎪⎭ 求(2000年(实验型)第二题)：波函数； 为，四、质量为(1) 在后来某一时刻t t =时的0(2) 在0t =和t t =时的体系平均能量。
0三、精确到微扰的一级近似，试计算如图所示宽度OB a AO 为0V ，AOB 被切去的无限深方势阱（如图CABD ）的最低三个态的能量。
μ的粒子在势场32()V r rλ=-常数（0λ>）中运动，试用测不准关系估算基态能量。
[]ˆ,x p五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系，证明能量表象中有()222nm nmnEE x μ∞其中-=∑ μ为系统质量，n E 与m E 是能量本征值，满足ˆˆ,n m H n m ，nE n H m E ==∞∑是对n 的完全求和。
1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）分。
、个质量都是的粒子可在一宽为的无限深方势阱中运动，忽略彼此间的相互作、1) 写出角动量算符说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一N m a 用，请求出最低的4条能级，并写下相应的简并度。
二ˆˆˆ,,x y L L L z(及算符之间的一切对易关系； (2) 设2ˆL lm ψ是与的本征态，本征值分别为和，证明2ˆˆ2z L (1)l l + m ()ˆˆx y l L iL L mϕψ=+亦为2ˆL 与ˆzL 的本征态，求出本征值； (3) 证明当时，态0l =lm ψ也是ˆx L 与的本征态。
、有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动），受到均匀磁场的作用，磁场ˆL y三、请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。
四ˆˆˆ2x x eB eB c μ H S cσμ==。
设0t B x = 指向正方向，相互作用势为时电子自旋朝上，即2zs = ，求时自旋的平均值。
、假定氢原子内的质子是一个半径为的均匀带电球壳，而不是点电荷，试用、一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。
忽略电子对中子的作用，而两个原子核与中0t >ˆS五1310cm -一级微扰论计算氢原子1s 态能量的改变。
六子的作用可用下面的简化势代替：()()(3)(3)0)V r a r a δδ(V r ⎡⎤=-++-⎣⎦ 矢量（a 与a 其中0V 是常数，a 是常，-分别是两核的位置矢量）。
试求高能下的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（实验型）分。
实说明微观粒子具有波粒二象性。
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、简单回答下列问题：(1) 举出一个实验事(2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面,12M P 和P P P 和为光电、若厄密算符探测器，试分别按照经典与量子的观点说明1是否能同时接收到光信号（12l l =）。
ˆˆA B 与具有共同本征态函数，即ˆˆ,na n nana n naA AB B ψψψψ==二，而且构成体系状。
三、在一维谐振子的哈密顿量态的完备函数组。
试证明ˆˆ,0AB ⎡⎤=⎣⎦222ˆ1ˆ22p H x μωμ=+中引进†ˆˆ,,a p a p ⎫=+=-⎪⎪⎫⎪⎭。
(1) 证明⎪⎭†,1a a ⎡⎤=⎣⎦； (2) 用写出哈密顿量； 设†,a a ˆH(3) n 为的本征矢，本征值为。
证明ˆH 为的本征矢，本征值为ˆH ()nE ω- n E a n 。
、在的对角表象（用泡利矩阵的形式表示）中，求出自旋算符ˆz S ˆˆˆ,,xy zS S S 四的本征值和本征矢五、在=时，氢原子的波函数量。
t 100210211211(,0)2r ψψψ-⎤=+++⎦(1) 该体系的能量期待值是多少式中波函数的下标分别是量子数的值，忽略自旋和辐射跃迁。
？的态的几率是多少？（1997年(实验型Ⅰ)第六题）,,n l m (2) 在t 时刻体系处在1,1l m ==1993年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）说明：共六道大题，选作五题，每题20分。
一、质量为m 的粒子可在势()()(V x x αδα0)=>1122,0,0x x x x e A e x x A e A e x λλλλ--'+<'=+> 的作用下作一维运动。
设粒子能量(1) 计算矩阵0E <，它的波函数可写为()x A ϕ= ()ϕM ：⎫。
(2) 求能量的值，解出波函数。
择基矢为2121A A M A A ⎛⎫⎛= ⎪ ''⎝⎭⎝⎪⎭E (3) 求动量的几率分布表达式。
{}1,2,3二、有一量子体系，其态空间三维，选，定义哈密顿量及另二个力学量ˆHˆˆ,AB 0ω 时，系统状态为为 设0t =100⎛100010ˆˆˆ020,001,100002010001H A a B b ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11(0)12322ψ=++。