结构力学专题论文
超静定梁的极限荷载分析与计算
一、 概述
弹性设计方法及其许用应力设计法的最大缺陷是以某一截面上的max
σ达到[σ]作为衡量整个结构破坏的标准。

事实上，由塑性材料组成的结构（特别是超静定结构）当某一局部的max σ达到了屈服应力时，结构还没有破坏，还能承受更大的荷载。

因此弹性设计法不能充分的利用结构的承载能力，是
不够经济的。

塑性分析考虑了材料的塑性性质，其强度要求以结构破坏时的荷载作为标准：
max []Pu
P p u
F F F k ≤=
其中，Pu F 是结构破坏时荷载的极限值，即极限荷载。

u k 是相应的安全系数。

对结构进行塑性分析时仍然要用到平衡条件、几何条件、平截面假定，这与弹性分析时相同。

另外还要采用以下假设：
（1） 材料为理想弹塑性材料。

其应力与应变关系如图所示。

（图1.1）
图1.1
（2） 比例加载：全部荷载可以用一个荷载参数P 表示，不会出现卸载
现象。

（3） 结构的弹性变形和塑性变形都很小。

从应力与应变图中看出，一旦进入塑性阶段（AB 段），应力与应变不再是一一对应的关系，只有了解全部受力变形过程才能得到结构的弹塑性解答。

但塑性分析法只考虑结构破坏状态时对应的极限荷载，所以比弹塑性分析法要简单的多。

值得注意的是，塑性分析只适用于延性比较好的弹塑性材料组成的结
D
s
σσ
构，而不适用于脆性材料组成的结构，也不适用于对变形条件要求较严的结构。

二、 相关概念
1、极限弯矩
（1）屈服弯矩
随着M 的增大，截面最外层纤维处的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作弹性极限弯矩或者屈服弯矩。

e s M W σ=
式中，W 是弹性弯曲截面系数。

（2）极限弯矩
M 不断增大，整个截面的应力达到屈服应力s σ时，截面承受的弯矩称作极限弯矩。

u s s M W σ=
s W 是塑性截面系数，其值为等截面轴上、下部分面积对该轴的静矩。

可见，纯弯曲时，M 只与材料的屈服应力s σ和截面的几何尺寸、形状
有关。

剪力和轴力对M 的影响可以忽略不计。

2、塑性铰
2.1 概念
当整个截面应力达到屈服极限时，保持极限弯矩不变，两个无限靠近的截面可以发生有限的相对转动，这样的截面称为塑性铰。

2.2 塑性较的特点
（1）塑性铰可以承受极限弯矩。

（2）塑性铰是单向铰。

（3）卸载时塑性铰消失。

（4）随着荷载分布的不同，塑性铰可以出现在不同的位置。

3、破坏机构
结构在极限荷载作用下，由于出现足够多的塑性铰而形成的机构叫做破坏机构。

破坏机构可以在整体结构中形成，比如简支梁；也可以在结构上的某一局部形成，比如多跨连续梁。

同一结构荷载不同时，破坏机构一般也不同。

静定结构在弯矩峰值截面形成一个塑性铰后，就形成破坏机构而丧失承载能力。

对于超静定结构，因为有多余约束，要形成足够多的塑性铰才能丧失承载能力，这也是我们在做结构时，要设计成超静定结构的重要原因之一。

三、 判定极限荷载时的一般定理
1、极限状态应满足的条件 （1）、平衡条件：在结构的极限受力状态中，结构整体及其任一局部都能维持平衡。

（2）、屈服条件：在结构的极限受力状态中，任一截面的弯矩绝对值都不会超过其极限弯矩，即u M M ≤。

（3）、单向机构条件：在极限受力状态下，结构已形成足够多的塑性铰而成为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。

2、两个定义
（1）、可破坏荷载：对于任一破坏机构，由平衡条件求得的荷载。

用P F +表示。

（2）、可接受荷载：取结构的弯矩分布，使所有截面弯矩都满足屈服条件，用平衡条件求得的荷载。

用P F -表示 3、四个定理
（1）基本定理：P F +≥P F -。

（2）上限定理：极限荷载是可破坏荷载中的最小值。

（3）下限定理：极限荷载是可接受荷载中的最大值。

（4）唯一性定理：一个结构的极限荷载值是唯一确定的。

应当指出的是，极限荷载是唯一的，而其相应的极限内力状态可能不唯一。

四、 计算超静定梁的极限荷载的一般方法
1、 超静定梁结构极限荷载的计算有以下三个特点：
（1） 只要能确定实际破坏时的破坏机构，就可由破坏机构的平衡条件直
接求出极限荷载，无需考虑结构的弹塑性变形的发展过程。

（2） 只需考虑平衡条件，无须考虑变形协调条件。

（3） 超静定结构极限荷载，不受温度变化、支座移动等因素的影响。

2、超静定梁极限荷载的计算方法：
（1）极限平衡法：取破坏机构作为分析对象，让塑性铰处的截面弯矩等于极限弯矩，根据极限状态结构的内力分别情况，利用平衡条件求极限荷载。

在建立破坏机构的平衡条件时，可以直接建立静力平衡条件，也可以采用虚功方程建立平衡。

利用虚功方程时，将破坏机构看作刚体系，令其沿荷载作正功的方向发生虚位移，塑性铰截面处的极限弯矩看作外力，并且它与塑性铰转角的转向始终相反，则虚功方程为：
0u i P M θ∆-=∑
（2）穷举法（基于上限定理）：列出结构所有可能的破坏机构，利用平衡条件或者虚功方程一一求出所对应的可破坏荷载，然后取其中的最小值，就是极限荷载。

（3）试算法（基于唯一性定理）选择一个破坏机构，利用极限平衡法求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各个截面弯矩是不是满足屈服条件。

如果满足，所得到得破坏荷载就是极限荷载。

应用试算法计算时，应选择外力功较大，极限弯矩做功相对较小的破坏机构进行试算。

由这样的破坏机构所求得的可破坏荷载较小，有可能成为极限荷载。

五、 举例说明求解梁的极限荷载的一般步骤和方法
【例】已知，EI =C i （），max max (M )()AB BC u M M ++==，max ()2CD u M M +
=，
max max () 1.2()M M -+=。

求图5.1(a)所示多跨连续梁的极限荷载。

分析：如果连续梁在每跨内为等截面，各跨的横截面可以不相同，同时荷载的作用方向相同，并按比例加载时，其破坏机构只能在各跨内独立形成，不可能各跨联合形成破坏机构。

解：（穷举法）：可能出现的破坏机构有三种。

（1） AB 跨出现塑性铰，单独破坏。

虚位移图如图5.1（b ）所示，
由虚功方程可得：
[]1
() 1.2()0
u A B u B q l M M θθθ+∆+-++-=
又 0.5A B l
θθ∆==
得： 126.4u M q l
+=
（2） BC 跨出现塑性铰，单独破坏。

虚位移图如图5.1（c ）所示，由虚功方程可得：
[]21() 1.2()()
2
u B u B C q l M M θθθ+∆+-+-++
又 0.5B C l
θθ∆==
得： 2217.6u M q l
+
=
图5.1（b ） u
1q l
++图5.1（c ） u 2q l ++0.5
0.5l l
0.75l
0.75l
A
B
C
D 图5.1（a ）
（3） CD 跨出现塑性铰，单独破坏。

虚位移图如图5.1（d ）所示，由虚功方程可得：
[]31.5 1.2()2()
u C u C D q l M M θθθ+
∆+-+-++
又 0.75C D l θθ∆==
得： 326.756u M q l
+
=
综上所述，极限荷载
}{
1232min ,, 6.4u
u M q q q q l
+++==
图5.1（d ）
u
u
M 3q l
++。