1 1 2
ˆ ) E( ˆ ) ， 即 ˆ 与 ˆ 为 的 无 偏 估 计 解 : 首 先, E( . 1 2 1 2 ˆ )2 D( 1
2
n
ˆ ) ( n 1), 故 ˆ 比 ˆ 有 效. D( 2 2 1
10
3. 相合性 意义
相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如
且至少存在一个 , 使严格不等号成立 , 则称 ˆ1 ( X ) 比 g ˆ 2 ( X ) 更有效 g .
例 设 X 1 ,, X n 为 取 自 总 体 F 的一个样本 ,设总体 均 值 为 和 方 差 为 2 都存在 ,同 作 为 总 体 均 值 为 ˆ X , ˆ X 的有效性 的估计 , 比 较 .
无偏性保证从长远来看是公平的 .
7
例3.1.1 设 X 1 , , X n 是 取 自 期 望 为 ，方差为 2 的总体的一个样本 .证 明: 样 本 方 差S 2 是 2 的 无 偏 估 计.
证:
8
2. 有效性
ˆ， ˆ 对无偏估计 1 2
二阶中心矩(方差)越小越好
例如,甲乙两厂生产的电视机平均使用寿命都是 20年.甲厂的产品质量比较稳定,最低使用寿命18 年,最高22年;而乙厂的产品质量稳定性较差,最 低使用寿命10年,最高30年.如果你是消费者，选 用哪个厂家的产品？
在不同的标准下,同一参数的最优估计可能不同.

常用的评价标准： 无偏性, 有效性, 相合性, 渐近正态性.
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点估计的优良性准则
ˆ( X ) 的平均值与 估计量 越近越好
1. 无偏性
ˆ( X ) ) | 越小越好 | E(

定义 设 X ( X 1 ,, X n ) 为 从 某 个 总 体 { F , }
例 如 ， 从 某 城 市 居 民收 年入 的 调 查 中 ， 估 计市 该 居民的年人均收入为 18250 元，这是一个点估计 . 若估计年人均收入在 16350 元到 19850 元之间，这 就是一个区间估计 .
3

点估计 定义 设 X ( X 1 , , X n ) 为 从 某 个 总 体 中 抽 取 的
E ( X )，则对 可作出如下估计：
1 ˆ ˆ m . ˆ 1 X ; 2 ( X (1) X ( n ) ); 3 0.5 2
4

问题： ˆ , ˆ , ˆ 哪个好？ 同样作为 的估计， 1 2 3
是否有评价估计量优劣 的标准？

回答： 有，而且标准不唯一。
中抽取的样本 , g( ) 是 定 义 于 参 数 空 间 上的已知 ˆ(X ) g ˆ ( X 1 , , X n ) 是 g( ) 的 一 个 估 计 量 函 数. g ,如果
ˆ ( X )) g( ), , E ( g
ˆ ( X ) 为 g( ) 的一个无偏估计 则称 g , 否则称为有偏估计 .
ˆ(X ) g ˆ ( X 1 , , X n ) 是 样 本 的 函 数 样 本, g (统 计 量 ), ˆ ( X )作 为g( )的 估 计 用g ,称为点估计 (pointe stimation ).

估计的方法
例如，设X 1 ,, X n 是取自总体 F 的样本 .设参数
ˆ ( X )的取法有很多。 对同一个未知参数 g( ),其估计 g
浙江财经学院本科教学课程
应用数理统计
第三章
点估计（一）
§ 3.1 预备
§ 3.2 矩估计
§ 3.3 极大似然估计
§ 3.5 Cramer-Rao不等式
1
§ 3.1 预备

参数估计问题：
参数估计 参数统计推断 假设检验
设分布族 F { F , }, F 的 分 布 形 式 已 知 ， 但 其 分布与未知参数 有 关. X 1 , , X n 是 从 总 体 F 中 抽 出 的 简 单 随 机 样 本 ，利 要用 样 本 对 未 知 参 数函 的数 g( ) 作 出 估 计 .
特别地，g( ) .
2
例如， X 1 ,, X n ~ N ( , 2 )，记 ( , 2 )，希望 利用样本对 ( , 2 ) 或其函数g( ) 的值作出估计 .
i.i.d.
参数估计 区间估计
点估计
用样本函数（统计量）的一个 具体数值去估计一个未知参数 用样本函数（统计量）的两个 值构成的区间去估计未知参数 的取值范围
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含义
ˆ ( X )计量在多此重复使用下接近真值
例 某工厂生产一种产品 , 从 长 期 来 看 废 品 率 稳在 定 p0 .某 商 店 每 日 从 该 厂 进 , 货 每 批 N 件, 每 件 a 元.双 ˆ ,则 商 店 付 给 工 方 协 定: 若 某 日 抽 样p0 的 估 计 值 为p ˆ )a 元.这 时 p ˆ 相 对 p0 可 能 偏 高 也 可 能 偏 低 厂 N (1 p , ˆ 为 p0 的 无 偏 估 计 因而有一方要吃亏 .但 从 长 远 看 ,若 p , 则 平 均 来 说 哪 一 方 也吃 不 亏.
方差大
稳定性差； 方差小
稳定性好
所以消费者选用甲厂家的产品
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ˆ1 ( X ) g ˆ 1 ( X 1 , , X n ) 和 g ˆ2( X ) 定义 设 g ˆ 2 ( X 1 ,, X n )是 g( ) 的 两 个 不 同 的 无 偏 估 计 g , 如果
ˆ 1 ( X )) D ( g ˆ 2 ( X )), , D ( g
果一个估计量, 在样本量不断增大时，它都不
能把被估参数估计到任意指定的精度, 那么这
个估计是很值得怀疑的。 通常, 不满足相合性
要求的估计一般不予考虑。
相合性的精确描述
ˆ (X) ˆ ( X ,, X ) 随着样本容量 n 的增加 , 估 计 量 n 1 n 与待估参数 的偏差越来越小 .