抛物线压轴题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：绝密★启用前xxｘ学校2014-２015学年度2月月考卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：１00分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ｉ卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、解答题（题型注释)1.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件１0元，出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元）之间的关系近似满足一次函数：y=-１０x＋５0０．⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于2５元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？2．如图所示，直线l:y=３x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、Ｃ和Ｄ（3，0）.(1)求直线BＤ和抛物线的解析式.（２)若BD与抛物线的对称轴交于点Ｍ，点N在坐标轴上，以点Ｎ、B、D为顶点的三角形与△MCＤ相似,求所有满足条件的点N的坐标．(3)在抛物线上是否存在点Ｐ，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析,若按每千克50元销售，一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少1０千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:(１)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为ｙ元，求ｙ与x之间的函数关系式;（3)商店想在月销售成本不超过１0 000元的情况下，使得月销售利润达到5 000元,销售单价应定为多少？4．如图,抛物线ｙ=-x2＋4x+5交x轴于A、B(以A左B右)两点，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式;（2)点Ｐ为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBＣ的面积为S，求S与m的函数关系式；（3)在（2)的条件下,连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由;如果存在,求点P的坐标.5.某商品的进价为每件５０元,售价为每件60元,每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖1０件。

设每件商品的售价上涨ｘ元(x为正整数）,每个月的销售利润为y元．(1) 求y与ｘ的函数关系式(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元?(3) 若每个月的利润不低于2160元，售价应在什么范围?6.如图,已知抛物线y=x2-１与x轴交于Ａ、B两点，与y轴交于点Ｃ.(1）求Ａ、Ｂ、C三点的坐标.（2)过点Ａ作AＰ∥CＢ交抛物线于点Ｐ,求四边形ACBP的面积．(3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过Ｍ作MＧ⊥x轴于点G，使以A、Ｍ、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似.若存在，请求出Ｍ点的坐标;否则,请说明理由．7.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为2０元/千克．市场调查发现,该产品每天的销售量w (千克）与销售价x （元/千克)有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为ｙ（元)．(1）求y与x之间的函数关系式，自变量ｘ的取值范围;（2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于２8元/千克，该农户想要每天获得1５0元的销售利润,销售价应定为多少元？（参考关系:销售额=售价×销量,利润=销售额﹣成本）参数答案1.（1）６0０；（2)30;（3)500.【解析】试题分析:(1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；（２）用配方法将(2)的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值;(3)把y=３000代入(2)的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求ｘ的值．试题解析：⑴当x=20时,y=-10x+5００=-10×２０+５０0=300,３００×(12-1０)=３０0×2=600,即政府这个月为他承担的总差价为600元．⑵依题意得，W＝(ｘ－10)(-10x+５0０)=－1０x2＋60０ｘ-5０00=-10（x-3０)2+4０0０∵a=-10＜０，∴当x=3０时，W有最大值40０0．即当销售单价定为3０元时,每月可获得最大利润40０0元.⑶由题意得：-1０x2+60０x-5000=30０0,解得：x1=２0,x2=40.∵a=－10<0,抛物线开口向下，∴结合图象可知:当2０≤x≤40时,W≥３０00．又∵ｘ≤25，∴当20≤ｘ≤25时，W≥3０00．设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴ｐ=(12－10）×(-1０x+５０0)=－２0x+100０．∵ｋ=－2０＜0.∴p随x的增大而减小,∴当x=２5时,p有最小值５00.即销售单价定为２5元时,政府每个月为他承担的总差价最少为5０0元．考点: 二次函数的应用.2．（1）直线BＤ的解析式为:ｙ=﹣x+３,抛物线的解析式为:y=x2﹣4x＋３;(２）满足条件的点N坐标为:(0，0），（﹣3,0）或(0,﹣３);(3)在抛物线上存在点Ｐ,使S△ＰBＤ=6,点P的坐标为（4,3）或（﹣１,8）.【解析】试题分析:（１）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；(2）首先确定△MＣD为等腰直角三角形,因为△BNＤ与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示，符合条件的点Ｎ有３个;(3)如答图２、答图３所示,解题关键是求出△ＰＢＤ面积的表达式，然后根据S△ＰBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．试题解析:(1)∵直线l：y＝3x+３与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,∴A（﹣1，0),Ｂ（0，3）;∵把△AＯB沿y轴翻折，点A落到点C,∴C(１,０).设直线BD的解析式为:y＝ｋx+b,∵点B(0，３）,Ｄ（3,０）在直线BＤ上,∴330bk b=⎧⎨+=⎩,解得ｋ=﹣１,ｂ=3，∴直线BD的解析式为:ｙ=﹣x+3．设抛物线的解析式为:y=ａ(ｘ﹣1）(x﹣3），∵点B（０,3)在抛物线上,∴3=a×（﹣1）×（﹣3)，解得：ａ＝1，∴抛物线的解析式为:y＝(x﹣1)（x﹣3）=ｘ2﹣４ｘ＋３;（2)抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3＝（ｘ﹣２）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,﹣1）．直线BD：ｙ＝﹣ｘ+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2,得y=1，∴M(2,1)．设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=１,∴△MCD为等腰直角三角形．∵以点N、Ｂ、Ｄ为顶点的三角形与△MCＤ相似,∴△BＮD为等腰直角三角形．如答图１所示：(Ｉ)若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O,∴N1(0，０）;(II）若ＢD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上,∵ＯB=OＤ=OＮ２=3,∴N2（﹣3,0）；(IＩI）若BD为直角边,Ｄ为直角顶点,则点N在y轴负半轴上，∵OB=ＯD=ＯN3=3,∴Ｎ3（０,﹣3)．∴满足条件的点N坐标为:（0，０），(﹣3,０）或(0,﹣3）;(3）假设存在点P，使Ｓ△PＢD=6,设点P坐标为（m,ｎ）.(Ｉ）当点P位于直线BD上方时,如答图2所示：过点P作PE⊥ｘ轴于点E，则PＥ=ｎ，DE=m﹣3．S△PBD＝S梯形ＰＥOＢ﹣S△ＢＯD﹣S△PDE=12(3+n）•m﹣12×3×３﹣12（m﹣３）•ｎ＝6,化简得：m+ｎ=７①,∵P(m，n)在抛物线上,∴n=m2﹣４m+３，代入①式整理得:m2﹣３m﹣4=０,解得:m1=4，ｍ2=﹣1,∴n1=3,n2=8,∴P1（4,3)，P2(﹣1,8）；（II)当点Ｐ位于直线BD下方时，如答图3所示：过点Ｐ作PE⊥y轴于点E，则PＥ=m,OE=﹣n,BE=３﹣n．S△PＢＤ=S梯形PEOD+Ｓ△BＯD﹣Ｓ△ＰBE=12（3＋m）•(﹣n)+12×3×３﹣12（3﹣n)•m=6,化简得：m+ｎ=﹣１②，∵P(ｍ，n)在抛物线上,∴n=ｍ2﹣4m+3，代入②式整理得:m2﹣3m＋４=0,△=﹣7＜０,此方程无解．故此时点P不存在.综上所述,在抛物线上存在点P，使Ｓ△ＰBD=6,点P的坐标为(4，3)或（﹣1，8)．考点：二次函数综合题.3.(１）450(千克) 6750(元） （2)y ＝(x-40）[500-(ｘ－5０）×1０] (3）９0元【解析】解:(1)月销售量:50０－10×（55-50)＝４50(千克）,月销售利润：（55-４0)×４50=6７５0(元）.(2)y ＝(x －４０)[500-(x-50)×10].(３）当y ＝5000元时,(x-40)[500-（x-５0)×1０]=５00０.解得x 1=５0（舍去）,ｘ2=90.当x=５0时，40×50０＝2００00＞100００.不符合题意舍去.当x=90时，５0０-(90-5０)×1０=１00，40×10０=4００0.销售单价应定为90元.４．(1) y ＝5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在，P （2，９)或Ｐ(3,8) 【解析】试题分析：（1）令y=０，解关于x 的一元二次方程即可得到点Ａ、B 的坐标，再令x=0求出点C 的坐标，设直线BC 解析式为ｙ=kx+ｂ（k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式解答;(２)过点P 作ＰＨ⊥x 轴于H,交B Ｃ于Ｆ，根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ，再根据S △PBC ＝S △PCF +S △PB Ｆ整理即可得解;(3)设A Ｐ、BC 的交点为E ，过点E 作ＥG ⊥x 轴于G ，根据垂直于同一直线的两直线平行可得E Ｇ∥P Ｈ,然后判断出△AG Ｅ和△AH Ｐ相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG,然后表示出B Ｇ,根据OB ＝O Ｃ可得∠ＯCB=∠OB Ｃ=45°，再根据等角对等边可得EG=BG ，然后列出方程求出ｍ的值,再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标，即可得解.试题解析:(1)当y=0时,x 1=5，x 2=－1，∵A 左Ｂ右,∴A(－１，０)，B(5，O)当x=0时，y=5，∴Ｃ(0,5),设直线BC 解析式为y=kx+b ， ∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为：y=5x -+；（2)作P Ｈ⊥x 轴于Ｈ,交BC 于点F,Ｐ（m ，－m 2+4m+5)，F(m ，－m+５)B A xCPy O H FP Ｆ=-m 2＋5m ,S △ＰBC =S △PCF +S △ＰB Ｆ S=2211(5)(5)(5)22m m m m m m -+⨯+-+⨯- ∴S=252522m m -+； (3)存在点P,作EG ⊥AB 于Ｇ,PH ⊥AB 于H ，∴EG ∥ＰH ，∴△A ＧE ∽△ＡＨP ，∴12AE EG AG AP PH AH ===， ∵P(m ，-m 2＋４m ＋5),EG=214522m m PH -++=， AH=m-(-1)=ｍ+1， GH=1122m AH +=， H Ｂ=５－m ,GB=152m m ++-, ∵ＯC=OB ＝5,∴∠ＯCB=∠OBC ＝4５°，∴ＥG ＝ＢG,∴2452m m -++=152m m ++-， ∴m 1=2 m 2=３，当m ＝2时,Ｐ（2,9)，当ｍ=３时,P(3,８),∴存在这样的点P ， 使得线段ＰＡ被ＢＣ平分,P(２,9)或P(3，８）. 考点:二次函数综合题.5.(1)ｙ=-１0ｘ2＋100x+２0０0;(２）6５，２2５0；（3）不低于62元且不高于6８元且为整数. B A xCPy O H G E【解析】试题分析:(1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数关系式．(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式,进而得出当x=5时得出y的最大值．(３）设y＝２１60，解得x的值.然后分情况讨论解．试题解析：（1)设每件商品的售价上涨x元（x为正整数),则每件商品的利润为：(６0-５0+x)元,总销量为:（２00-10x）件,商品利润为:ｙ=（６０-５0+x）(2００-1０ｘ）,=(1０＋x)(2０0-１0ｘ),=－１０x2+1０0x＋2000.∵原售价为每件6０元,每件售价不能高于7２元，∴０＜x≤1２且ｘ为正整数;(2)y=-10x2+１00x+２000,=－1０(ｘ２-10ｘ）＋2000，=-10（ｘ-5)２+22５0.故当x=５时，最大月利润y=2２５０元．这时售价为60+５=65（元）.（３）当y=2160时，-10x2+１00x+20０0=２160，解得：x1=2,ｘ2＝8.∴当ｘ＝2时，60+x＝６2,当x=8时,60+x=６8.∴当售价定为每件６2或68元，每个月的利润为2160元．当售价不低于6２元且不高于68元且为整数时,每个月的利润不低于2160元.考点: 二次函数的应用．6.(1) A(-1，0),B(１，0),Ｃ(0，-１）;（２）4;（3)（-2，3)，（43，79)，(４,15）.【解析】试题分析：(1）抛物线与x轴的交点,即当y=0，C点坐标即当x=0,分别令y以及x为０求出Ａ，B,C坐标的值;(2)四边形ＡCBP的面积=△ABC+△ABP,由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=ＢＣ，则可求出△ABC的面积,根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积,则就求出四边形AＣＢP的面积；(3）假设存在这样的点Ｍ，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明AG MGCA CA=或AG MGCA PA=即可．设M点坐标,根据题中所给条件可求出线段AG，CA，ＭG，CA的长度,然后列等式,分情况讨论，求解.试题解析: （１)令y=0，得x2－1=0解得x=±1,令x=0，得y＝-1∴A（-1，0)，B(1,０）,C（0，－１);（２）∵OA=OＢ=OC＝１，∴∠ＢAＣ=∠ACO=∠BCＯ=45°．∵ＡＰ∥CＢ，∴∠PＡＢ=４5°.过点Ｐ作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形，令OＥ=A，则PＥ=Ａ+1，∴P(A,A+1).∵点P在抛物线y=x2－1上，∴A+1=Ａ2-１．解得A１=2，A2＝-1（不合题意，舍去).∴ＰE＝3．∴四边形ACBP的面积Ｓ=12AB•O C+12ＡB•PE=12×2×１+12×2×3＝4;(３)假设存在∵∠PＡB=∠BＡＣ=45°，∴ＰA⊥AＣ∵ＭG⊥x轴于点Ｇ,∴∠MＧA＝∠PAC=9０°在Ｒt△AOC中，ＯA=ＯC=1，∴ＡＣ=2在Rt△PAE中，AE=PE=3，∴AＰ=３2设M点的横坐标为m，则Ｍ（m,ｍ2-1）①点M在y轴左侧时,则ｍ＜-１．（ⅰ)当△AMG∽△PCA时，有AG MG PA CA.∵AG＝-m-1,MＧ=m2-1．即2112 32m m---=解得ｍ１=-1(舍去）m2=23（舍去).(ⅱ)当△MＡG∽△PCA时有AG MG CA PA=，即211232m m---=．解得：m=-1(舍去）m２=-2.∴M（－2,３)（10分）．②点Ｍ在y轴右侧时,则m＞1(ⅰ)当△AMG∽△ＰCA时有AG MG PA CA=∵ＡG＝m+1，MG=m２-1∴211 322 m m+-=解得m1=-１(舍去)m2=4 3 .∴M（43，79).（ⅱ)当△MＡG∽△PCA时有AG MG CA PA=,即211 232m m+-=．解得：m1＝－1（舍去)m2=4，∴Ｍ（4，15）．∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCＡ相似M点的坐标为(－2,3),(43，79)，(4,15）．考点: 二次函数综合题.7.(1） y=﹣2ｘ2＋１２0x﹣16０0，20≤ｘ≤40；(2) 30元／千克, ２00元；（３)２５.【解析】试题分析:（1)根据销售利润y=（每千克销售价﹣每千克成本价)×销售量ｗ，即可列出y与ｘ之间的函数关系式；(2）先利用配方法将(1)的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解;（3)先把y=15０代入(1)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据ｘ的取值范围即可确定x的值.试题解析:(1）y=w（x﹣２0）=(ｘ﹣20）（﹣２x+８0)＝﹣2x2+１20x﹣160０,则y=﹣2ｘ2+１２0x﹣1６00．由题意,有202800xx≥⎧⎨-+≥⎩，解得2０≤ｘ≤４０.故ｙ与x的函数关系式为：y=﹣2ｘ2＋１2０ｘ﹣１60０,自变量ｘ的取值范围是20≤ｘ≤4０;(2)∵y=﹣2ｘ２+120x﹣１600＝﹣2(x﹣３0）２+200,∴当x＝30时，y有最大值２0０.故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润2００元；（3)当ｙ=1５0时，可得方程﹣２x2+12０ｘ﹣1600=15０,整理,得x2﹣60x+875=０，解得x1=25，ｘ2=３5．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于2８元/千克，∴x2＝3５不合题意，应舍去.故当销售价定为２5元／千克时,该农户每天可获得销售利润150元.考点: 1.二次函数的应用;2．一元二次方程的应用．。