1. 如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=x+交于x轴上的一点A，和另一点B （3，n）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB 于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过D点作x 轴的平行线交抛物线C2于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．2. （2013•桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=﹣3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使，求出此时点M的坐标；（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为﹣4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），线段AB=6，，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）若点D为线段BM上任一点（点D不与点B重合，可与点M重合），过点D作垂直于x轴的直线x=t，交抛物线于点E，交线段BC于点F．①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？②是否存在这样的点D，使得？若存在，求出D点的坐标；若不存在，则请说明理由．5．（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2经过A（4，0），B（1，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．7. （2011•历城区一模）已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．_________，_________；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）_________；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．（2008•崇安区二模）已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．（1）求p、q的值．（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2012•衢州模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，它的顶点坐标为（5，），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、．D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若AB=6，求AD的长；（3）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（4）如图（2），若直线y=x交抛物线的对称轴于点N，P为直线y=X上一个动点，过点P 作X轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线y=x上是否存在点P，使得以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为．（1）求b、c的值；（2）过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F（4，0），求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图①，抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA•OC=OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．15．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知如图，抛物线y=ax2+bx﹣a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，﹣4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax2+bx﹣a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．17．（2009•甘孜州）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．18．（2011•娄底模拟）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B （0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（2012•许昌一模）如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c经过A（2，0）．B（3．﹣3）及原点O．顶点为C．（l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．21. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的表达式；（2）求证：C点是△AOD的外心；（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．22. （2013•宁德质检）已知直线y=kx+3﹣k，无论k取哪一个实数，所得的直线总经过一个定点，如图，当k=时，所得的直线分别交x轴、y轴于A，B两点，（1）求A，B两点的坐标；（2）对于直线y=kx+3﹣k，当k=1时，所得的直线与直线AB交于点P，以点P为顶点的抛物线y=a（x﹣1）2+b经过点A．求出点P的坐标及抛物线的表达式；（3）设k≠时，直线y=kx+3﹣k与（2）中抛物线的一个交点为点E，求当k为何值时，在抛物线的对称轴上存在一点D，使得四边形ABED是平行四边形．23（2012•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B （3，3），D（1，﹣1）．有两条抛物线l1、l2都经过A、B两点，且关于AB所在直线对称，其中抛物线l1经过原点，抛物线l2交y轴于点E．设P、Q两点分别在抛物线l1、l2上运动．（1）求抛物线l1的解析式．（2）直接写出抛物线l2的解析式．（3）当四边形ADPQ为平行四边形时，求点P的横坐标．（4）当点P运动到抛物线l1的顶点时，设直线PQ的解析式y=kx+b．①若直线PQ经过点D，交线段AB于F，求△ADF的面积．②若直线PQ分得矩形ABCD较小部分的面积大于0且不超过矩形ABCD面积的，直接写出b的取值范围．24（2013•黄石）如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）25（2010•菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON 面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26（2013•濠江区模拟）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+b1与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，3）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），求△PON的面积最大值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△POD 面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B 和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．28（2013•宜昌模拟）抛物线y=ax2+bx+c中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE．（1）求k的值；（2）求证：这条抛物线经过点A；（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系．29（2012•南通二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，将△OAB绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△OCD．抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m （m ＞0）个单位长度，使得顶点落在△OAB 内部（不包含△OAB 的各条边）时，求m 的取值范围；（3）设直线AB 与该抛物线的另一个交点为Q ，若在x 轴上方的抛物线上存在相异的两点P 1、P 2，使△P 1AQ 与△P 2AQ 的面积相等，且等于t ，求t 的取值范围．30（2013•荆门模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx 沿y 轴向下平移3个单位长度后恰好经过B （﹣3，0）及y 轴上的C 点．若抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），且经过点C ，其对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M ，使得直线CM 把四边形EFOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．31. 如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？32. 如图，抛物线F ：y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于两点A(1,0)、B(3,0)，与y 轴交于点C ，满足sin ∠[原创] （1）（2分）求抛物线F 的解析式；（2）（4分）在抛物线F 的对称轴上有点M 、N ，满足：M 使得MA+MC 最小，N 使得NC NA -最大，求OM ⋅ON 的值； （3）（6分）将抛物线F 向右平移m 个单位得到新的抛物线F1，F1与F 的交点记为P ，若∠PCB ＝∠ACB ，求抛物线F1的解析式.33. 如图（1），抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴交于A(-2 ,0)、B （5,0），与y 轴交于点D ，且经过点C （2,2）.【原创】xx（1）(2分)求该抛物线的解析式；（2）连接BD，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，交BD于点G，点P从B点出发以1个单位每秒的速度向O运动，运动时间为t秒：①（4分）如图（1），连接CP交BD于点F，若△BFP∽△CFG，求此时t的值；②（6分）如图（2），抛物线上取点K（-1,1），连接AK，OK，OC，AC，PK。