一元二次方程应用题(整理)
销售定价问题
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取 适当的降价措施,经调查发现,如果每件 衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2 件,若商场平均每天要盈利1200元,每件 衬衫应定价多少元?
解答这种商品销售问题时,需要明确:总利润=单利润×售出商品的 总量. 解:设此商品的单价为(50+x)元,则每个商品的利润是[(50+x) -40]元, 销售数量为(500-l0x)个。 由题意,得[(50+x)-40](500-l0x)=8 000, 整理得x2 -40x- 300=0. 解得x1=10 ,x2=30 ∵商品售价不能超过进价的160%,∴取x=10. 这时应进货500 -l0x=400(个). 故售价定为60元,这时应进货 400个.
B
Q A P C 图4
分析:(1)设果P、Q同时出发,x秒钟后,AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,此
时△PCQ的面积为: 12×2x(6-x),令该式=8,由此等量关系列出方程求出符合题意 的值; (2)△ABC的面积的一半等于 12× 12×AC×BC=12cm2,令 12×2x(6-x)=12,判 断该方程是否有解,若有解则存在,否则不存在.
解答:解:(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2.
由题意得,AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm, 则1/2•(6-x)•2x=8. 整理,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4. 所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)由题意得: S△ABC=1/2×AC•BC=1/2×6×8=24, 即:12×2x×(6-x)=1/2×24, x2-6x+12=0, △=62-4×12=-12<0,该方程无解, 所以,不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻. 点评:本题主要考查一元二次方程的应用,关键在于找出等量关系列出方程求解.
数字与方程
设谁?
1. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.
年龄问题
读诗词解题:(通过列方程式,算出周 瑜去世时的年龄). 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
图2 图3
分析:(1)设出小路的宽度为x米,表示出两条小路的面积,而小路的
面积为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即可; (2)设出扇形的半径为y米,则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面 积,而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即 可.
解答:解:(1)设小路的宽度为x米,根据题意列方程得,
路程问题
1.在800米圆形跑道上有两人练中长跑,甲 每分钟跑320米,乙每分钟跑280米,⑴• 两 人同时同地反向起跑,几分钟后第一次相 遇?⑵• 两人同时同地同向起跑,几分钟后 第一次相遇?
工程问题
在西部大开发中,基础建设优先发展,甲、 乙两队共同承包了一段长6500米的高速公 路工程,两队分别从两端施工相向前进, 甲队平均每天可完成480米,乙队平均每天 比甲队多完成220米,乙队比甲队晚一天开 工,乙队开工几天后两队完成全部任务?
点评:本题考查的是一元二次方程的应用,难度不大.
(2)销售定价问题 (4)几何问题 (6)年龄问题 (8)情景对话
解一元二次方程有哪些方法?
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
销售增长率问题
恒利商厦九月份的销售额为,使销售额稳步 上升,十二月份的销售额达到了193.6万元, 求这两个月的平均增长率.
点评:此类题目旨在考查增长率,要注意增长的基础,另外还要注意解的 合理性,从而确定取舍.
销售定价问题
家乐福超市如果将进货价为40元的商品按50元销售,就 能卖出500个,但如果这种商品每涨价1元,其销售量就 减少10个,如果你是超市的经理,为了赚得8 000元的利 润,你认为售价应定为多少(售价不能超过进价的 160%)?这时应进货多少个?
劳资调配问题
趣味问题
一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么 也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边 一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着 拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米, 二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教 他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试, 不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
解:设竹竿的长度为X,那么X² =(X-4)² +(X2)² =X² -8X+16+X² -4X+4=2X² -12X+20, 平移过来,X² -12X+20=0 (X-10)x(X-2)=0 X取10或2,由于2不符合标准,故舍去,得 X=10米 答:竹竿长10米。
几何问题
将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴 影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确 到0.1m) (1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度 相等的小路. (2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的 小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明 理由.
图1
分析:设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.依
题意列方程求解.
解答:解:设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅
游. 因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25 人. 可得方程[1000-20(x-25)]x=27000. 整理得x2-75x+1350=0, 解得x1=45,x2=30. 当x1=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1; 当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意. 答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
情景对话
春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出 了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行 社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水 湾风景区旅游?
如果人数不超过 25人,人均旅游 费用为1000元.
如果人数超过25人,每增 加 1 人,人均旅游费用降 低20元,但人均旅游费用 不得低于700元.
十一月份的销售额达到200(1-20%)+200(1-20%)x=200(1-20%) (1+x), 十二月份的销售额达到200(1-20%)(1+x)+200(1-20%)(1+x) x=200(1-20%)(1+x)(1+x)=200(1-20%)(1+x)2, ∴200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21, 所以1+x=±1.1, 所以x=-1±1.1, 即x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答:这两个月的平均增长率是10%.
一元二次方程典型应用题
将实际问题抽象为数学问题,数学建模能力的过程
新世纪教育 数学 孙老师
复习问题,提出新知
1.列方程解应用题的基本步骤怎样?
(1)审题:透彻理解题意,明确哪些是已知数,哪些是未知数,以 及它们之间的关系。审一步列一步! (2)设未知数:根据题意,可直接设未知数(求谁设谁),也可间 接设未知数,未知数必须写明单位,语言叙述要完整。 (3)列代数式和方程:根据题中给出的条件,用含有所设未知数的 代数式表示其他未知数,利用等量关系,列出方程或方程组,一般列 方程的个数与所设未知数的个数相同。 (4)解方程或方程组应注意解题技巧,准确地求出方程或方程组的 解。 (5)检验答案:解应用题要检验有无增根,又要检验是否符合题意 以及实际生活中的常识,最后做出符合题目要求的答案。.
分析:本题设这两个月的平均增长率是x,十月份的销售额为200(1-20%)
万元,十一月份的销售额为200(1-20%)(1+x)万元,十二月份在十一 月份的基础上增加x,变为200(1-20%)(1+x)(1+x)即200(1-20%) ( 万元,进而可列出方程,求出答案.
解答: 解:设这两个月的平均增长率是 x, (1 x) 2
注意:(1)在这些步骤中,审题是解
题的基础,列方程是解题的中心,发现 等量关系是列方程的关键!。
(2)在列方程时,要注意列 出的方程必须满足以下两个条件: a,方程两边表示同类量数值相等 b,方程两边的同类量的单位一样
一元二次方程常见应用题有哪些型?
(1)销售增长率 (3)储蓄利率问题 (5)数字与方程 (7) 趣味问题
蕴含的数量关系
几何动态问题
如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC =8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动, 点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. (1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积 为8平方厘米? (2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得 △PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运 动的时间;若不存在,说明理由.
点评:本题主要考查一元二次方程的应用,关键在于理解清楚题意找出等
量关系列出方程求解
储蓄利率问题
王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一 年定期利率存入“少儿银行”,到期后将 本金和利息取出,并将其中的500元捐给 “希望工程”,剩余的又全部按一年定期 存入,这时存款的年利率已下调到第一次 存款时年利率的90%,这样到期后,可得 本金和利息共530元,求第一次存款时的年 利率.(假设不计利息税)