专题一 函数图象数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）（2）利用基本函数图象变换。

2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。

（1）平移变换① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的1a倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利用描点法或图象变换作图 6．判断函数图象的方法判断函数图象是高考中经常出现的内容，大多属于简单题，值得重视。

常用方法有： （1）取点（描点）（2）考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面 （3）利用平移 （4）利用基本形状4．应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。

二、题型演练题型一、作函数的图像 例1、作出下列函数的图象.（1）y=21(lgx+|lgx|);（2）y=112--x x ;（3）y=)21(|x|.解 （1）化简解析式得y=⎩⎨⎧≥<<).1(lg ).10(0x x x 利用对数函数的图像即得图（1）（2）由y=112--x x ,得y=11-x +2.作出y=x1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得y=11-x +2的图象如图（2）.（3）作出y=（21）x 的图象，保留y=（21）x 图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x 的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象.如图（3）（1） （2） （3） 例2、作出2|)1(log |2++=x y 的图象. ［分析］利用图象变换作图（如图）解：第一步：作出x y 2log =的图象（图①）.第二步：将x y 2log =的图象沿x 轴向左平移1个单位得)1(log +=x y x 的图象（图②）.第三步：将)1(log 2+=x y 的图象在x 轴下方的图象，以x 轴为对称轴对称到x 轴的上方得|)1(log |2+=x y 的图象）（图③）.第四步：将|)1(log |2+=x y 的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到2|)1(log |2++=x y 的图象（图④）.［评注］运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把点取在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．题型二、已知两个函数解析式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解析式。

例3．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像． 解：方法一：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像； （2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像； （3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像． 方法二：（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像； （2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像； （3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例4、已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数y ＝g (x )的解析式．解：由已知，将函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象向左平移一个单位，得到y ＝log 2(x ＋1＋1)的图象，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )＝2log 2(x ＋2)的图象．故g (x )＝2log 2(x ＋2)．题型三、选择正确的函数图象例5．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ）解：)2(21x x f +的自变量为21,x x 的中点，)2(21x x f +对应的函数值即“中点的纵坐标”，)]()([2121x f x f +为自变量21,x x 对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”。

再结合)(x f 函数图象的凹凸性，可得到答案A ，这是函数凹凸性的基本应用。

故选A 。

例6、已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ）［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a 对图象的影响。

解：解法一：首先，曲线x a y =只可能在上半平面，)(log x y a -=只可能在左半平面上，从而排除A 、C 。

其次，从单调性着眼，x a y =与)(log x y a -=的增减性正好相反，又可排除D 。

解法二：若10<<a ，则曲线x a y =下降且过点(0,1)，而曲线)(log x y a -=上升且过)0,1(-，以上图象均不符合这些条件. 若1>a 时，则曲线x a y =上升且过(0,1)，而曲线)(log x y a -=下降且过)0,1(-，只有B 满足条件。

解法三：如果注意到)(log x y a -=的图象关于y 轴的对称图象为x y a log =，又x y a log =与xa y =互为反函数（图象关于直线x y =对称），则可直接选定B 。

［答案］B例7函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ）解：由图象可知，)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且)(x f 与)(x g 的公共定义域为0≠x ，排除C 、D 。

令)()(x f x F =·)(x g ，则)()()()(x f x g x f x F -=-•-=-·)(x g ，所以)()()(x g x f x F •=为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 。

故选A 。

题型四、函数图象的应用例8、若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解：（1）当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.（2）当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图(2)所示， 由已知可得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅.综上可知，0＜a ＜12.例9、已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围。

解：解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点， 即f (0)=0,得d =0， 又f (x )的图象过(1，0)， ∴f (1)=a +b +c=0 ①又有f (－1)＜0，即－a +b －c ＜0 ②①+②得b ＜0，故b 的范围是(－∞，0)解法二：如图f (x)=0有三根0，1，2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ， ∴b =－3a ，∵当x >2时，f (x )>0，从而有a >0， ∴b ＜0。

[评注]通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。

例10（1）试作出函数1y x x=+的图像；（2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（1）令1()f x x x =+，∵)()1()(x f x x x f -=+-=-∴()f x 为奇函数，从而可以先作出0x >时()f x 的图像，再利用)(x f 的图像关于原点对称可得0<x 时()f x 的图像。