说明：
f (x)
对 c,lR, 如 果 (c,cl)(a,b), 则
cl
l
P(cXcl)c
f(x)dx ba
•
a
o
•
b
x
X落在(a,b)任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关
例 3 向 区 间 [ 0 , a ] 上 任 意 投 点 , 用 X 表 示 该 点 坐 标 . 设 该 点 落 在 ( 0 , a ) 中 任 一 子 区 间 的 概 率 与 区 间 长 度 成 正 比 , 与 区 间 位 置 无 关 . 求 :( 1 ) 概 率 密 度 f ( x ) ;( 2 ) X 落 在 [a 3,3 4 a)的 概 率 .
x3 3
)|0312
P { 1X 1 }11(9x 2)d x1 3
- 13 6
2 7
P {X2}31(9x2)dx2
236
27
例2 某型号电子元件的寿命X的概率密度函数为:
(1) 任取一只,其寿命大于1500小时的概率;
1000 f(x)= x2
x>1000
求: ((32))
任取4只, 寿命均大于1500小时的概率; 任取4只, 至少有1只寿命大于1500的概率.
0
其它
(4) 若已知一元件寿命大于1500小时,则其
寿命大于2000小时的概率是多少?
解 : X 为 连 续 型 随 机 变 量 , 设 A i { 第 i 个 元 件 寿 命 大 于 1 5 0 0 } ( i 1 , 2 , 3 , 4 )
( 1 )P 1= P ( X > 1 5 0 0 ) =1 + 5 0 0f ( x ) d x=1 + 5 0010 x0 20dx10 x 001 5 002 3
( 2 ) P 2 = P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = P ( A i ) 4 = [ P ( X > 1 5 0 0 ) ] 4
=(1 + 5 0010 x0 20dx)4(2 3)41 86 1
( 3 )P 3= P ( A 1U A 2U A 3U A 4) = 1 - P (A 1) P (A2) P (A3) P (A4)
X:U (2,5),
f(x) 5 1 -2 1 3 0
2< x< 5 其 它
5
5
P (A )P (X3) f(x)dx 3
3
1 3
dx
2 3
设Y为3次独立观测中A发生的次数
Y :b (3 , 2 3 ) b (3 ,P (A ))
P ( Y 2 ) C 3 2 ( 2 3 ) 2 1 3 C 3 3 ( 2 3 ) 3 2 2 7 0
解 :根 据 题 意 ,X :U [0 ,a ]
(1) f(x)=0a1
0x<a 其它
3a
(2)P(a 3X<34 a)=a4 f(x)dx 3
3a
4 a
1 a
dxa1152a
152
3
例4 随机变量X 服从(2，5)上均匀分布，现对X 进行3次独
立重复观察，试求至少有2次观测值大于3的概率？
解：令A={观测值大于3}
2. f(x)dx=1.
3. a,bR (ab),
成立P{aXb}
b
f(x)dx
a
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度.
说明：
f(x)、x轴所围曲边梯形面积等于1
P{a<X≤b}等于 f(x)、x轴、直线x=a、x=b所围曲边梯形面积
改变f(x)在个别点的值，不影响P{a<X≤b}的值
用直方图近似正态分布的概率密度演示
矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率 高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然 分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度
一、概率密度定义及性质(重点)
1、概率密度的定义
设X是随机变量,如果存在非负可积函数f(x), 满足:
Hale Waihona Puke 1. f(x)0.(1 )求 常 数 C ; (2 )求 概 率 P {X 0 }, P { 1X 1 }, P {X 2 }.
解 :( 1 ) 由 概 率 密 度 的 定 义 : f(x ) d x 1 -
f(x)d x3C (9x2)d x1
-
- 3
C 1 36
(2)P{X0}- 0 33 1 6(9x2)dx316(9x
= 1 - [ P ( A 1 ) ] 4 = 1 - [ 1 - P ( A i ) ] 4 = 1 - [ 1 - P ( X > 1 5 0 0 ) ] 4
=1-[1-32]4=8801
( 4 ) 所 求 概 率 为 P 4 = P ( X > 2 0 0 0 | X > 1 5 0 0 ) P 4=P ( { X > 1 P 5 { 0 X 0 > } 1 I5 { 0 X 0 > } 2 0 0 0 } )P P { { X X > > 1 2 0 5 0 0 0 0 } }
2、概率密度的主要性质（重点）
( 1 ) 对 a R , P { X a } af(x ) d x 0 a 启示：概率为0，不一定是不可能事件。概率为1，不一定为必然事件
( 2 )若 a b ,则 P {a X b } P {a X b } P {a X b }
b
P {a X b } af(x )d x
( 3 ) 如 果 f ( x ) 在 x 处 连 续 , 则 P { x X x x } f ( x ) x
x x
P {xX x x}x f(x)d x f(x)x
例 1 (P 3 5 ,例 2 ) 随 机 变 量 X 具 有 概 率 密 度 f(x ) C (9x 2) 0
3x3 其 它
第三节 连续型随机变量及其概率密度
主要内容（2学时）
一、概率密度的定义及性质（重点） 二、常见的连续型随机变量（重点）
1、均匀分布； 2、指数分布； 3、正态分布。
背景:
例子：1、灯泡（电视机）的寿命； 2、股票的收益率等。
特点：1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。 2、随机变量取任一值的概率为0，即P(X=x)=0。
d x + 1 0 0 0
2000 x2
P{X>1500}
1
2 2
3
3 4
二、常见的连续型随机变量 (重点）
1. 均匀分布
设 连 续 型 随 机 变 量 X具 有 概 率 密 度 f(x) b 1a, axb, 0, 其 它 ,
则 称 X在 区 间 (a,b)区 间 上 服 从 均 匀 分 布 ,记 为X~U(a,b).