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基本不等式经典例题学生用

基本不等式
知识点:
1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”)
2. (1)若*,R b a ∈,则ab b
a ≥+2 (2)若*,R
b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”)
(3)若*,R b a ∈,则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”

3.若0x >,则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)
若0x <,则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”)
若0x ≠,则11
1
22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)
4.若0>ab ,则2≥+a b
b a
(当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2
a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (
当且仅当b a =时取“=”)
5.若R b a ∈,,则2)2(2
2
2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”)
注意:
(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,
当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值
例:求下列函数的值域
(1)y =3x 2+1
2x 2 (2)y =x +1
x
技巧一:凑项
例 已知5
4x <,求函数1
4245y x x =-+-的最大值。

技巧二:凑系数
例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。

变式:设23
0<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三: 分离换元
例:求2710
(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数()a
f x x x =+的单调性。

例:求函数224y x =+的值域。

技巧六:整体代换(“1”的应用)
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。

例:已知0,0x y >>,且
191x y +=,求x y +的最小值。

技巧七
例:已知x ,y 为正实数,且x 2+
y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值. 技巧八:
已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab
的最小值. 技巧九、取平方
例: 求函数15
()22
y x =<<的最大值。

应用二:利用均值不等式证明不等式
例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。

求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三:均值不等式与恒成立问题
例:已知0,0x y >>且191x y
+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若
)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 .。

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