第79课 相互独立事件的概率●考试目标 主词填空1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）．2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”.3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率.P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率.【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B .【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B .(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64.(2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ∙+∙=∙+∙ =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.(3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96.【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用.【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率.【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事件A 、B 、C 的概率，便于解题.【规范解答】 我们先规定下列事件的记号： A =“电池A 损坏”，P (A )=0.3；B =“电池B 损坏”，P (B )=0.2；C =“电池C 损坏”，P (C )=0.2.“电路断电”=“A 、B 、C 三个电池同时损坏”=A ·B ·C . 由实际意义知，A 、B 、C 、三个事件相互独立，于是P (电路断电) =P (A )·P (B )·P (C )=0.3×０.２×０.2＝０.012．【解后归纳】 由此可见，由于采取并联，电路断电的概率比单独使用电池时下降了许多，解此类题时，有一个特点，就是不必考虑基本事件集，而是用事件之间的关系及概率的加法公式或乘法公式来计算概率就可以了. 【例3】某所气象预报站的预报准确率为80%.则它5次预报中恰有4次准确的概率约为多少?(保留两位有效数字)【解前点津】 可把问题看做是“5次独立重复试验中求事件A 恰好发生4次的概率”. 【规范解答】 把每次预报看作一次试验，“预报结果准确”看成事件A ，则P (A )=0.8.本题相当于在5次独立重复试验中求A 恰好发生4次的概率.因而，5次预报中恰有4次准确的概率为：P 5（４）＝41.02.08.052.08.0)1(444545445≈⨯⨯=⨯⨯=-∙-C P P C 答：略.【解后归纳】 本题主要考查独立重复试验的概率的求法.【例4】 经抽检，某元件的次品率是0.3%，现将该元件按每100只装成一盒，试计算每盒中不含次品的概率.【解前点津】 100只元件装盒，可把每装进一只看成一次随机试验，将每次试验中放进次品看成事件A ，从而本题的实质是，求在100次独立重复试验中事件A 发生0次的概率.【规范解答】 将100只元件装一盒作为进行100次随机试验，并设每次试验中放进次品为事件A ,则依题意，P (A )=0.3%.所以，在100次独立重复试验中事件A 发生0次的概率是 P 100(0)=0100C ·(0.3%)0(1-0.3%)100-0 =0.7405=74%.即每100只元件装成一盒，每盒不含次品的概率为74%.【解后归纳】 解题的关键在于将问题转换为贝努里概率型问题，而这种转换的难点,往往是根据问题的特征，确定什么是该问题中的独立重复试验. ●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.10件产品中有4件是次品，从这10件产品中任选2件，恰好是2件正品或2件次品的概率是 ( ) A.252 B.152 C.31 D.1572.设A 为一随机事件，则下列式子不正确的是 ( ) A.P (A ·A )=P (A )·P (A ) B.P (A ·A )=0 C.P (A +A )=P (A )+P (A ) D.P (A +A )=13.若A 与B 相互独立，且B 与C 也相互独立，则A 与C ( ) A.相互独立 B.相互对立 C.可能相互独立，也可能不相互独立 D.互斥4.10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是 ( ) A. 510651⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛- B. 106651⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛- C.1 105611⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- D. 1510611⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5.在一条线路上并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作．如果在某段时间里三个开关能够闭合的概率分别为P 1、P 2、P 3，那么这段时间内线路正常工作的概率为 ( )A. P 1+P 2+P 3B.P 1P 2P 3C.3321P P P ++ D.1-(1-P 1)(1-P 2)(1-P 3)6.若甲以10发8中，乙以10发中6，丙以10发中7的命中率打靶，3人各射击1次，则3人 中只有1人命中的概率为 ( ) A.25021 B. 25047 C. 75042 D.2037.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一次，他们都中靶的概率为 ( ) A.53 B.43 C.2512 D.25148.一学生通过某种英语听力测试的概率为21，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为 ( )A.41 B.31 C.21 D. 34二、思维激活9.在某一试验中，事件A 出现的概率为P ，则在n 次试验中，A 出现k 的概率为 . 10.电子设备的某一部件由9个元件组成，其中任何一个元件损坏了，这个部件就不能工作．假定每个元件能使用3 000小时的概率为0.99，则这个部件能工作3 000小时的概率为 (结果保留两位有效数字)．11.5名男生和2名女生排成一列，则男生甲排在中间，且2名女生排在男生甲左侧的概率是 . 三、能力提高12.1个产品要经过2道加工程序，第1道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率．13.一批高梁种子，其发芽率是0.8，现每穴种3粒．问： (1)一穴中有两粒出芽的概率是多少? (2)一穴中小于3粒出芽的概率是多少?14.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立). (1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3?15.如图，用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2．16.假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1-P ，且各引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行．问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全?第7课 相互独立事件的概率习题解答1.D ∵1572102426=+C C C ，∴选D.2.A 因为A 与A 是对立事件，显然不是相互独立事件，则P (A ·A )=P (A )·P (A )是错误的．3.C 相互独立没有传递性．4.D 10个骰子都出现一个点的概率为1061⎪⎭⎫⎝⎛，不都出现一个点的概率为1-(61)10，5次不都出现一个点的概率为［1-(61)10］5，5次至少有一次全都出现一个点的概率为1-［1-(61)10］5．5.D 在这段时间线路正常工作是“3个开关至少有一个能够闭合”，其对立事件是“三个开关均不能够闭合”，所求概率为:1-(1-P 1)(1-P 2)(1-P 3)．6.B 记“甲命中”为事件A 、“乙命中”为事件B 、“丙命中”为事件C ，则“3人中只有1人命中”为事件A C B A C B A C B ++．因为C B A C 、B A 、C B 是互斥事件，且A 、B 、A 、B 、C 、C 均为相互独立事件，所以所求概率P =P (A )P ()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B ++. ∵P (A )=54,P (B )=53,P (C )=107,∴P (103)(,52)(,51)===C P B P A ,故 P =54×52×103+51×53×103+51×10752⨯=25047.7.D ∵54×107=2514,∴选D.8.C ∵21×21+21×21=21,∴选C.9.kn k k n P P C --)1(.10.0.91 因为各元件能否正常工作是相互独立的，所以所求概率P =0.999≈0.91. 11.351 ∵351774423=A A A .12.(1)P 3(2)=23C 0.82·0.2=0.384 . (2)所求概率P =1-33C 0.83×0.20=0.488.13.事件A 恰好发生k 次的概率为kn C P k (1-P )n-k ，事件A 发生偶数次的概率为0n C P 0(1-P )n +2n C P 2(1-P )n -2+ 4n C ·P (1-P )n -4+…+［(1-P )+P ］n=0n C (1-P )n P 0+1n C (1-P )n -1P +2n C ·(1-P )n -2·P 2+3n C (1-P )n -3P 3+… ①［(1-P )+(-P )］n =0n C (1-P )n (-P )n +1n C (1-P )n -1·(-P )+ 2n C (1-P )n -2(-P )2+3n C (1-P )n -3(-P )3+… ②①+②得 ［(1-P )+P ］n +［(1-P )+(-P )］n =2［0n C (1-P )n P 0+0n C (1-P )n -2·P 2+…］. 所以0n C (1-P )n·P 0+2n C (1-P )n -2·P 2+…=21［1+(1-2P )n］.故事件A 发生偶次的概率为2)21(1nP -+.14.(1)记“至少3人同时上网”为事件A ，则P (A )= 36C (0.5)6+46C (0.5)6+56C (0.5)6+66C =3221.(2)解:至少4人同时上网的概率为46C 0.56+56C 0.56+66C 0.56=3211>0.3.至少5人同时上网的概率为56C 0.56+66C 0.56=647<0.3.故至少5人同时上网的概率小于0.3.15.分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，P (A )=0.80,P (B )=0.90,P (C )=0.90. (1)因为事件A 、B 、C 相互独立，所以N 1正常工作的概率为P 1=P (ABC )=P (A )·P (B )·P (C ) =0.80×0.90×0.90=0.648.(2)解法一：N 2正常工作的概率P 2=P (A )·P (A+B )即P 2=P (A )［1-P ()C B ∙］=P (A )［1-P ()()C P B ］=0.80×［1-0.10×0.10］=0.80×0.99=0.792. (2)解法二：P 2=P (ABC )+P (A )()C AB P C B +=P (A )P (B )P (C )+P (A )P ()()()()()C P B P A P C P B + =0.8×0.9×0.9+0.8×0.1×0.9+0.8×0.9×0.1=0.792.点评：本题(2)P 2=P (A )P (B+C )≠P (A )［P (B )+P (C )］，这是因为事件B 、C 不是互斥事件，在解题时，一定要弄清A +B 、A ·B 及公式P (A +B )=P (A )+P (B )、P (AB )=P (A )·P (B )的适用范围．否则易犯错误．例如“甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?”该题是求事件的概率，容易求成和事件的概率．在审题时要注意关键词“至少、最多、同时”等真正含义，避免出现错误．16.飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：24C P 2(1-P )2+34C P 3(1-P )+44C P 4=6P 2(1-P )2+4P 3(1-P )+P 4.2引擎飞机为：12C P (1-P )+22C P 2=2P (1-P )+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要6P 2(1-P )2+4P 3(1-P )+P 4≥2P (1-P )+P 2，3P 3-8P 2+7P -2>0 所以3P -2>0,P>32.即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机更安全．。