阶段，" $ ! ，) 的情况是要求掌握的。
二、均值定理的应用
（ 一） 利用均值定理求最值 类型!：求几个正数和的最值 例 #（ # ） 由已知 ! * 解： （#） . ! * # $ ,! - # ’ . + - ,! ’ + # 的最大值； ，求函数 # $ , ! - # ’ , ,! - +
中山大学学报论丛，!""# 年 第 !# 卷 第 # 期
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均值定理及其应用探讨
刘晓明
（ 广州市艺术学校， 广东 广州 *+"*!" ）
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摘( 要：均值定理在数学中是很重要的，本文对它的应用以及应用的误区予以探讨。 关键词：不等式；均值定理；算术平均数；几何平均数。 中图分类号：,#-!’ -( ( 文献标识码：.( ( 文章编号：+""/0+/1! （ !""# ） "#0""#+0"# 均值定理在高中数学中占有重要的地位，在高考试题中常见应用此定理来解题。以下从均 值定理的推广，均值定理的应用以及应用过程中的误区等几个方面来阐述。从而说明在应用均 值定理时，要注意的三个条件：一“ 正” — — —各项或各因式均为正；二“ 定” — — —和或积为 定值；三“ 等” — — —各项或各因式能取得相等的值。那样，我们在解决有关不等式方面的问 题就得心应手了。
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分析：这里错误在于使用均值定理 ’ 9 ()* ! ’( 时忽略了条件：’，($! 9 正解： （ >） 当 ! ? % 时，! 9 ’ )* ! ! 1 # ’ （ 当 ! # * 时取等号） ! ! ’
（ @） 当 ! & % 时， : ! ? % 而（ : !） 9 号） 5 ! 9
’ （ : ) ） ( : ) # ’ （ 当 ! # : * 时取等 ( : ’! ) )* ! !
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" ! !" ! !" 而 ! ，于是 !" 1 !" 1 1 1! " # " # ! ! " （ 当且仅当 ! & " 时取“ & ” 号） 。 说明：题中的 " # # ! ! " ，! !" ， ! !" ， "
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分析：首先 ! !" 1 大小趋于明朗。
! !" !" ! "" ! !" " 与 !" 与 ， ，然后去比较 ! 的大小，于是四数的 " # " " # ! ! " # # ! )" ! " # " 即 !" 1 ! !" # # ! ! "
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解：$ !，"$! ! ，%
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一、均值定理
［ +］ +2 均值定理： 若 !，"$! 3 ，那么
! 3" ! 3" !"（ 当且仅当 ! 4 " 时取“ 4 ” ） 。其中， )! ! !
!" 称为 !，" 的几何平均数。 称为 !，" 的算术平均数， ! !2 均值定理的几何意义是“ 半径不小于半弦” 。 即以长为 ! 3 " 的线段为直径作圆，如 图 + ，在直径 #$ 上取点 % ，使 #% 4 !，%$ 4 "& 过点 % 作垂直于直径 .5 的弦 67，那么 !" ，这个圆的半径 86! 4 8.・85 ，即 86 4 ! ! 3" ! 3" 。 显 然， 它 不 小 于 86 ， 即 为 ) ! ! !" ，其中当且仅当点 8 与圆心 9 重合，即 ! ! 3" 4 ! !" 。 ! 4 " 时， ! 个正数 (+ ，(! …，( ’ 有： (+ 3 (! 3 … 3 ( ’ ’ (+ (! …( ’ ；当且仅当 (+ 4 (! 4 … 4 ( ’ 时，等号成立。 )! ’ 上述不等式的一个简单而巧妙的证明，是利用对数函数 ) 4 &:( 图象的凸性。所谓函数图
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提示：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决本题的关键。 （ 四） 利用均值定理解应用题 例 , 在3-./ 中，4/ & 0*1 ，-/ & + ，./ & ’ ，一条直线分 3-./ 的 面积为相等的两部分，且夹在 -. 与 ./ 之间的线段最短，求此线段长。 分析：本题的关键是恰当地选取变量表示夹在 -. 与 ./ 之间的线段， 同时考虑到题设中的等量关系，即 # 3.23 & (’ # # ，因此所选变量应便于 " 3-./
解得 ! #$ 1 , ( （ 舍） 或 ! #$ )" ，当且仅当 # ’ $ 且 #$ ’ # & $ & " ，即 # ’ $ ’ " 时，取“ ’ ” ，故 #$ 的取值范围是［ - ， & . ） 。 又 # & $ & " ’ #$1
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# &$ ! ! 2（ # & $） , ) （ # & $） , (! )% 2# & $1 , ! （ 舍） 或 # & $ )+ ， !
收稿日期：!""# ; "! ; "< 作者简介：刘晓明（ +1#! ; ） ，女，辽宁沈阳人，助理讲师。 图 +( 均值定理的几何意义
-2 均值定理的推广。算术平均数与几何平均数的关系式，可以推广到 ’ 个数。即对于 ’
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象在某区间的凸性是指：该区间函数图象上的任意两点所连成的线段，整个位于函数图象的下 方（ 或上方） 。
+ ( , ! - + * / ，故 + - , ! 0 / ,
# # $ - （+ - ,! ’ ） ’, ,! - + + - ,! # # $! )! （ + - , !） + - ,! + - ,!
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( #1 - ! ’ , $ ! ，当且仅当 + - , ! $ ! $ # 时，# 123 $ ! 。 4!
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# + + # 1 ! ! （ ! ! "） & " " ’ ’ "
求两个三角形的面积，于是可设 !" # !，!$ # " 解：如图所示，设 !" # !，!$ # "， （ % & ! & ’ ，% & " & ( ） 则 # 3!"$ # 又 # 3/!0 # 5 ) ) !" ・!$+,-! # ! .+,-! * * ) ) ) !0 ・/0 # 1 2 1 ’ # 3 依题意 4 3!"$ # 4 3/!0 * * *
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!" ! "" 分别叫做正数 !， " 的调和平均数，几何平 "
均数，算术平均数，平方平均数。于是：调和平均数 1 几何平均数 1 算术平均数 1 平方平均 数，当且仅当 ! & " 时取等号。 （ 三） 利用均值定理证明不等式 例 ( 已知 ! ) * ，" ) * ，! ! " & # 。求证： # ! " # 1" "
分析：这是一个条件不等式的证明问题，求证式的右边是一常数，为了脱去左边的根号， 并与条件 ! ! " & # 联系起来，可将 ! ! 利用均值不等式去证明即可。 解：$ # & !! " # "! & " # # # # ，" ! 分别看成是 # ・ （! ! ） ，# ・ （" ! ） ，然后 " " " "