方法 1（利用表格 2.1）：表中新的第五列的系数 为:
( 新的右端常数列 为
()
)
()
( 新的非基变量检验数为
() () )
()
(
)
()
(
)
6
所以对应的单纯形表为
()
(
)
方法 2：（迭代法） 初始单纯形表：
第一步迭代：
7
第二步迭代： 第三步迭代： 至此，已得到最优单纯形计算结果，但并未出现题设中所需填写的表格，事实上， 采用 Lingo 求解，得到同样类似结果，经过 3 步迭代，得到最优解即为上表结果：
12
（3）由原规划的最优解 因此松弛变量
()
，故①②③均为等式约束，联立方程解得：
，
，
13
14
15
16
得到初始基可行解；
17
得到此问题的解为：
18
解得
19
8
这说明，题目中所要求的解不是一个好的解，即有可能会差于我们在迭代中求出 的各步骤的解。事实上，选择最接近题设要求基变量中的迭代表，即第一步迭代 表，仅需要 进基， 出基，可得到题设要求的基变量，但是目标值 7 劣于第一 步迭代表中的 9。
进基， 出基，迭代得：
(3)从表格中看出，题设中所列的表格，检验数不全小于等于 0，不为最优解， 最优解见（2）第二种方法。
，
()
11
得到 解为：
，因此{ 。
教材 P82 习题 2.3
，解得
，因此原问题的最优
{
（1） 写出对偶规划； （2） 求原问题最优解； （3） 求解对偶问题最优解。 解：（1）对偶规划：
①
②
③
{
无限制
（2）原问题最优解：添加人工变量后可通过两阶段法或者大 M 求解，过程略。
结果为：
，
。
可通过 Lingo 程序验证：
（4）
时，无有限最优解。
教材 P81 习题 2.1
（2）
{ 解：对偶规划为：
无约束
时，有
{ 无约束 注：此例转化成对称形式的对偶规划结果相同。 先化为对称形式：
{ 对偶规划为：
无约束
{ 无约束 大家自己证明这个结果跟前面的结果是一样的。
(4)
∑∑
∑
{
∑
10
解：这题需要将问题的结构搞清楚，目标函数共有 mn 个决策变量，约束共有 m+n 个方程，避免出错的话，将连加号分开写：
∑∑
{
故对偶规划中共有 m+n 个决策变量，约束方程共有 mn 个，对偶规划为：
∑
∑
{ 无限制 教材 P82 习题 2.2
{
其对偶规划的最优解为 解：对偶规划为
，由对偶理论给出原问题的解。
①
②
③
④
{
将
代入约束，得①②均为严格不等式，故相应的松弛变量
不为 0，③④为等式，故相应的松弛变量 均为 0，由̅
运筹学习题参考答案
教材 P38 习题 1.1
1
2
3
4
5
教材 P40 习题 1.8 已知线性规划问题：
{
某一基
对应的单纯形表如下：
（1） 对应的基 ，求 ；
（2） 将表中空白处填上数字，完成单纯形表；
（3） 判别是否为最优解。
解：（1） (
)，从最优单纯形 教材 P40 习题 1.9
求最大目标函数值的线性规划问题的单纯形表如下所示
9
参数为何值时，
（1） 表中的解为唯一最优解；
（2） 表中的解为无穷多最优解；
（3） 表中的解为退化的可行解；
（4） 无有限最优解（无界解，即无解）。
解：（1）
时，有唯一最优解；
（2）
或者
无穷多最优解；
（3）
时，解为退化的可行解；