高三数学周周练（3）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置．．．．上．．1.在复平面内，复数21ii-+对应的点位于第四象限.2. 命题“若1x>，则0x>”的否命题是若1x≤，则0x≤ ;3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .4.在区间)2,2(ππ-上随机取一个实数x，使得21xcos>成立的概率为32；5. 向量,的夹角为120°，|5|,3||,1||baba-==则= 7 ．6. 执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 720 .7. 过双曲线)0,0(12222>>=-babyax的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若MEFM2=，则该双曲线离心率为 3 ;8.计算12323nn n n nC C C nC++++L，可以采用以下方法：k s*5u（第3题图）11（第6题图）11构造恒等式0122(1)n nn n n n n C C x C x C x x ++++=+L ，两边对x 求导，得12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+L ，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C ++++=L 22)1(-+n n n ．9. 若函数12sin y x =（[0,2)x π∈）在P 处的切线平行于函数2(1)3xy =+在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为3810. 已知)2,0(,1010)4cos(π∈θ=π+θ，则)42sin(π-θ的值为 102 ； 11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 4； 12. 已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都成立，则1110a a -= 102413. 已知，点),(y x P的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则223y x y x ++的取值范围为)3,3[- ．14.已知函数)M a 0(1ax x )x (f 023≤≤--=存在整数零点的a 恰有3个，则0M 的取值范围是 )1663,926[。

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且,sin 2sin .a b A A B ≥+= （1）求角C 的大小；（2）求a bc+的最大值． 15.解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ．因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3．（2）由正弦定理及（Ⅰ）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)． 当A ＝ π3时，a ＋b c 取最大值2．16. （本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）求证：PC ⊥AE ；（2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ． 解析：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC AC ＝2．取PC 中点F ，连,AF PF ，则∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． （1分）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥． (3分) ∴PC AEF ⊥平面． (4分)∴PC ⊥AE ． （5分）（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则 EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ． （7分） 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． （9分）∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ． （10分） 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． P ADBCE PA D BCE F M∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． （7分） ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ． （9分） ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． （10分）(3)由(1)知AC ＝2，1,2EF CD EF PAC =⊥且平面． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝EF =（12分）则V＝112232E PAC V -=⨯⨯⨯ (14分)17. 如图，2020年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知S(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S 点,做SC 垂直OB 于C ,,60,30οο=∠=∠ASB CSB又,3=SA 故在SAB Rt ∆中,可求得BA =3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分由SC =3，,30ο=∠CSO 在SCO Rt ∆中,可求得,3=OC又,3==SA BC 故,32=OB 即立柱高为32米. -------------------------------- ------ - 6分(2) （注：若直接写当SO MN ⊥时，MSN ∠最大，并且此时ο60<∠MSN ，得2分） 连结SM ,SN , 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,13221)32(13221)32(222222⋅⋅-+-=⋅⋅-+a b 2622=+∴b a211311221122cos 22222>=+≥=-+=∠b a ab ab b a MSN ο60<∠∴MSN 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. (14)分18. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22221(0),x y a b a b+=>>它的离心率为12，一个焦点是(-1,0)，过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A 、B.(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标；(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由..解：（I ）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-，故1c =，又12c a =，所以2,a b ===，所以所求的椭圆Ω方程为22143x y +=. ………………………4分（II ）设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ，则切线方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=，又两切线均过点M ，即11221,133t tx y x y +=+=，即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=，故直线AB 的方程是13t x y +=，显然直线13tx y +=恒过点（1,0），故直线AB 恒过定点()1,0C .…………………………………10分 （III ）将直线AB 的方程13t x y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以121222627,1212t y y y y t t -+==++，不妨设120,0y y ><，1AC y ===，同理2BC y =，…………13分所以211212121111y y AC BC y y y y ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭24312t ===+， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅. ……………………………16分19. (1) 设函数)(21)(R x x x g ∈-=，且数列}{n c 满足1c = 1，)(1-=n n c g c (n ∈N ，1>n )；求数列}{n c 的通项公式．(2)设等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且827643b b a b b a +++ 52=，721++=n An T S n n ， 62=S ；求常数A 的值及}{n a 的通项公式． (3)若⎪⎩⎪⎨⎧=)()(为正偶数为正奇数n c n a d nn n ，其中n a 、n c 即为(1)、(2)中的数列}{n a 、}{n c 的第n 项，试求n d d d +++Λ21． 19．(1) 由题意：)1(211-=-n n c c ，变形得：)1(2111+=+-n n c c ， （1分） ∴数列}1{+n c 是以21为公比，211=+c 为首项的等比数列. （3分） ∴1)21(21-⋅=+n n c ，即1)21(2-=-n n c ． （5分）(2) ∵由等差数列}{n a 、}{n b 知：573582642,2a a a b b b b b =+=+=+；∴由52827643=+++b b a b b a 得：5255=b a ， （6分）∴52929255919199==⨯+⨯+=b a b b a a T S ，∵721++=n An T S n n ，∴5279219=+⨯+A ，解得1=A ；（8分）∴)72()1(721++=++=n n n n n n T S n n ，n S 和n T 分别是等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和； ∴可设)72()1(+=+=n kn T n kn S n n ，； ∵62=S ， ∴1=k ，即n n S n +=2. （10分） 当1=n 时，211==S a ，当n ≥2时，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[(221=-+--+=-=-.综上得：n a n 2=. （12分） (3)当12+=k n (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=++++ΛΛΛ])21(1[3422])41(1[34)1(2122--+++=--++=n k n n k k（14分）当k n 2= (∈k N *)时，)()(242123121k k n c c c a a a d d d +++++++=+++-ΛΛΛ])21(1[342])41(1[34222n k n n k k -+-=--+=． （16分）20. (本小题满分15分)记函数()ln(1),()f x x g x x =+=．（1）若函数2()()()F x af x g x =+在1x =处取得极值，试求a 的值；（2）若函数2()()()()G x af x g x b g x =+-⋅有两个极值点12,x x ,且[]1243,,0,155x x ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦，试求a 的取值范围；（3）若函数11()()()H x f x g x =-对任意[]12,1,3x x ∈恒有12()()H x H x a -≤成立，试求a 的取值范围．（参考：ln 20.7≈）20解：（1）2()ln(1),(1)F x a x x x =++>-，'()21aF x x x=++ 由'(1)04F a =⇒=-……3分（3）222211(1)ln (1)(),'()ln(1)(1)ln (1)x x x H x H x x x x x x ++-=-=+++……10分记22()(1)ln (1),(1)m x x x x x =++->-则2'()ln (1)2ln(1)2m x x x x =+++-，又2ln(1)2''()1x xm x x+-=+……11分记2()2ln(1)2(1),'()1xn x x x x n x x-=+->-=+ 当0x ≥时，'()0()[0,)n x n x <⇒+∞在上单调递减，故()(0)0n x n ≤= 可得''()0'()[0,)m x m x ≤⇒+∞在上单调递减，故'()'(0)0m x m ≤=……12分 可得()[0,)m x +∞在上单调递减，故()(0)0m x m ≤= 可得'()0()[0,)H x H x ≤⇒+∞在上单调递减，……13分即()H x 在[]1,3上单调递减，由题意max min |()()||(1)(3)|a H x H x H H ≥-=-11112121ln 2ln 432ln 232ln 23=--+=-=-……16分 数学Ⅱ（附加题）21(1) 选修4—2 矩阵与变换已知矩阵12b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 有特征值41＝λ及对应的一个特征向量123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程．解：（1）由已知1283122b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即238,2612b c +=+=，2,3b c ==， 所以1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; …………………………4分（2）设曲线上任一点P (,)x y ，P 在M 作用下对应点///(,)P x y ，则//1232x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即{//232x x y y x y =+=+，解之得////234y x x x y y ⎛-= - =⎝，代入225841x xy y ++=得222x y ''+=， 即曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程是222x y +=．………10分 21. (2) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），若直线l 与曲线C 相切，求a 的值．解析：曲线C 化为直角坐标方程为220x y ax +-=，即22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（3分）直线l 的参数方程化为普通方程为10x y --=． （6分）由题设条件，|1|2a a -=，∴|1|22a a -=， (8分)∴122a a =+（舍去）或122a =-，∴)21a =． (10分)22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧面与底面垂直，11,AA AB AC AB AC ===⊥，,,M N P 分别是1CC ，BC ，11B A 的中点．（1）求证：AM PN ⊥；（2）若直线MB 与平面PMN 所成的角为θ，求sin θ的值． 22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,1(0,1,1)C , 1(,0,1)2P ,1(0,1,)2M , 11(,,0)22N ,1(0,,1)2=-,1(0,1,)2=,因为⋅PN 11001(1)022=⨯+⨯+-⨯=,所以AM PN ⊥． ………………4分（2）设平面PMN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u u r,1(0,,1)2NP =-u u u r ,111(,,)222NM =-u u u u r ,则1100n NP n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r⇒1111110,21110.222y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ 令12y =，得11z =，13x =所以1(3,2,1)n =u u r． …………………………………………………6分又1(1,1,)2MB =--u u u r ，所以1112sin 342||||2n MB n MB θ⋅===⨯u u r u u u ru u r u u u u r ． ……………………10分B A 1AB 1C 1CM P（第22题图）23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F T M P 、、、满足(1,0),(1,)OF OT t ==-uuu r uuu r ，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点F 的直线交曲线C 于A ,B 两点，求证：直线TA ,TF ,TB 的斜率依次成等差数列．解析：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由FM MT =u u u u r u u u r ，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2t M ，(,)2t PM x y =--u u u u r ，(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---u u u r u u u r u u u r u u u r ， (2分) 由PM FT ⊥u u u u r u u u r ，得2()02t x t y +-=，―――――――――――① (3分) 由//PT OF u u u r u u u r ，得(1)0()10,x t y --⨯+-⨯= ∴t=y ――――② (4分)由①②消去t ，得24y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程． (5分)（2）设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有2t k =-． （6分） 设直线AB 方程为1x my =+，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，（8分） ∴2222121212()2168y y y y y y m +=+-=+，∴12121211y t y t k k x x --+=+++ 2221122212()(1)()(1)44(1)(1)44y y y t y t y y -++-+=++ 2212121212222212124()4()16()3224()16y y y y t y y y y t t k y y y y +-+++-==-=+++，∴12,,k k k 成等差数列．（10分）。