不定积分典型题型1. 原函数2.积分公式3.第一类换元积分法(也称凑微分法）4.第二类换元积分法5. 分部积分法原函数1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则⎰=dx x f )(（ ）A. G （x ）B. F （x ）C. F （x ）+C分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。
2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x分析：验证两个函数的差是否为常数。
运用对数函数的运算。
Ln2x=ln2+lnx积分公式 1.=⎰dx e x x 3分析：运用公式⎰a x dx=aln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为xe )3(。
答：C e xx ++3ln 132.=+⎰dx xx 2213 分析：对函数进行“加一项减一项”处理，则C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan (3)111(3111313222223.=⎰dx x 2tan分析：运用三角恒等式,1sec tan 22-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=⎰⎰tan )1(tan 224.=⎰dx x x 22sin cos 1分析：运用三角恒等式sin 2x+cos 2x=1,则C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=⎰⎰⎰cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 122222222.5.=++⎰dx xx2cos 1cos 12 分析：运用三角恒等式1+cos2x=2cos 2x 答：C x x ++)(tan 216.=⎰dx x2sin22分析：运用三角恒等式x xcos 12sin22-= 答：x -sinx+C第一换元积分法（凑微分法）利用凑微分法求不定积分，往往要作多次试探，总结一些规律性的东西，如果题目不复杂，可以省去写中间变量而直接写出积分结果。
对于稍复杂的题目，有时候不能直接想到如何凑成微分形式，可以写出中间变量，最后一定要换回原来的积分变量。
1.求=-⎰dx x3231分析：运用)(1b ax d adx +=进行凑微分，令u=3-2x. 答：C x +--32)23(432.求=+⎰dx x 2291分析：转化为形式：C x dx x +=+⎰arctan 112答：C x +32arctan2313.求=-⎰dx x x 21 分析：运用xdx=221dx 答：C x +--232)1(314.求=+⎰dx x x )1(1分析：运用x d dx x21=和 ⎰C x dx +=+arctan x 112答： ⎰C x +arctan 25. dx e e xx ⎰-+1求分析：运用)(xxe d dx e =和⎰C x dx +=+arctan x 112答：Ce x +arctan6.求⎰+x xdx2cos 3cos分析：运用cosxdx=d(sinx)和xx 2sin 212cos -=和⎰C x dx x+=-arcsin 112答：Cx +)sin 22arcsin(227.求dx x x ⎰+22cos 2sin 1分析：运用x d x dxtan cos 2=和 ⎰C x dx +=+arctan x 112 答：C x +)tan 22arctan(228.求dx x x ⎰++4212分析：运用完全平方公式和⎰C a xa dx a +=+arctan 1x 122答：Cx ++31arctan 339.求dxxx x ⎰-++2235分析：注意分子为x 的一次式，可以凑出分母中所含二次式的导函数2-2x,可分化。
答：C x x x +-+-+-21arcsin623210.求dx x ⎰csc解：C x x x x d xx dx x x xx x dx x x x x x dx x +-=--=--=--=⎰⎰⎰⎰cot csc ln )cot (csc cot csc 1cot csc cot csc csc cot csc )cot (csc csc csc 211.求dx x x⎰+sin 1sin解：⎰⎰⎰⎰⎰++-=-=-=--=+Cx x x xdx dx x x dx x xx dx x x x dx x x tan cos 1tan cos sin cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin 2222212. 已知()x )(ln ,)()(⎰⎰=+=dx x f C x F dx x f 则分析：运用凑微分法。
答：F(lnx)+C13.设f(x)=e 3x ,求=⎰dx x x f 3)(ln '分析：方法一，运用直接代入求解法。
方法二，运用换元积分法，令u=lnx答：C x +33114.求⎰xdx 2cos 2解：被积函数中，cos2x 是一个由cos2x=cosu,u=2x 复合而成的复合函数，常数因子恰好是中间变量u 的导数。
因此变换u=2x,便有C u d x xd xdx +===⎰⎰⎰sin u u cos )2(2cos 2cos 2再以u=2x 代入，即得C x xdx +=⎰2sin 2cos 215.求⎰+32)2(x x解：令u=x+2,则x=u -2,dx=du.于是C x x x C u u u du u u u du u u u du u u x x ++-+++=+-+=+-=+-=-=+------⎰⎰⎰⎰221321323232)2(2242ln 24ln )44()44()2()2(第二换元积分法（去根号）（1）被积函数为 f(n m x x ,),令mnt x =。
（2）被积函数为 f(,n b ax +),令n b ax t +=。
（3）被积函数为 f(22x a -),令t a x sin =。
运用1cos sin 22=+x x 。
x22x a -（4）被积函数为 f(22x a +),令t a x tan =。
运用t t 22sec tan 1=+。
（5）被积函数为 f(22a x -),令t a x sec =。
运用t t 22tan 1sec =-。
1.求dx x x ⎰-+-1221分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。
令xt -=1.答：Cx x +-----11211ln 22.求dxxx ⎰+41分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。
令4xt =.答：Cx x x +++-)1ln(442443.求dxx a ⎰-22分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。
令.arcsin ,sin a xt t a x ==. 答：Cx a x a x a +-+22221arcsin 24.求dxa x ⎰+2322)(1分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。
令ta x tan =答：Cxa a x++222分部积分法当函数u(x),v(x)可微时，根据微分的乘法法则，我们有d(uv)=udv+vdu,等式两端关于x 求不定积分，可得，⎰⎰⎰+=vdu udv duv ，从而有⎰⎰-=vdu uv udv .称为分部积分公式，当我们面对一个难于处理的积分时们我们可以用这个公式谋求一个更容易求出的积分来代替它。
解题口诀：反 对 幂 三 指，谁在前面谁不动。
1.求⎰xdx ln分析：被积函数为对数函数，运用分部积分法。
答：xlnx -x+C 2.求⎰+dx x x )1ln(2分析：先凑微分，被积函数为幂函数与对数函数的乘积，可分部积分。
答：Cx x x +-++22221)1ln()1(213.求⎰-dxe x x23分析：被积函数为多项式和指数函数的乘积。
分部积分答：Ce e x x x +----22212124.求⎰xdxx 2sin 2分析：被积函数为幂函数与三角函数的乘积，运用分部积分法答：Cx x x x x +++-2cos 412sin 212cos 2125.求xdxe xsin ⎰解：xdxe x e inxde s xdx e xx x x cos sin sin ⎰⎰⎰-==等式右端的积分和等式左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分法，得 xdx e x e x e osxde c x e x x x x x sin cos sin sin ⎰⎰--=-由于上式右端的第三项就是所求积分，把它移到等号左端去，等式两端再同除以2，便得C x x e xdx e x x+-=⎰)cos (sin 21sin因上式右端已不包括积分项，所以必须加上任意常数C 。
简单有理函数积分有理函数的一般形式为F(x)=)()(x Q x p m n ，其中P n (x),Q m (x)分别为n,m 次多项式。
1.求⎰-+)13)(12(1x x解：先将被积分式恒等变形再积分C x x dx x x dxx x x x x x ++--=+--=-+--+=-+⎰⎰⎰)12ln 13(ln 51)122133(51)13)(12()13(2)12(351)13)(12(1。