第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
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但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
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②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
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取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
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3.3 极小值原理的意义
（1 ）容许控制条件放宽
H 0 。但即使u不受限制， 变分法：在整个控制域，对u 没有约束 u H 0 计算不易。 有时 u 极小值原理：H在u的约束闭集中取极小值。
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3.1 连续系统极小值原理 定理3.1 设系统的状态方程为 始端条件为 终端约束为
控制约束为
性能泛函为
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④协态终值满足横截条件
⑤满足边界条件
这就是著名的极小值原理。
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如：燃料最优控制： J t u (t ) dt
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(3)控制作用有界和无界时的区别和联系 ①当控制作用无界时，控制方程 控制作用有界时不成立。 ②控制作用有界时，控制作用满足 成立,
(2)极值条件的说明 第 1 条件和第 2 条件，适用于求解各种类型的最优控制问 题，且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。 第2条件，说明当u*(t)和u(t)都从容许的有界闭集 U中取值 时，只有 u*(t) 能使 H 函数沿最优轨线 x*(t) 取全局最小值， 且与闭集的特性无关。 第 3条件，描述了 H函数终值与 tf之间的关系，可以确定 tf 的值，该条件是由于 tf 变动产生的，当 tf 固定时，该条件 不存在。 第 4 条件和第 5 条件，为正则方程提供数量足够的边值条 件。若初态固定，其一半由 x(t0)=x0 提供，另一半由协态 终值约束方程 和协态终值方程 共同提供。
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H [ X (t ), (t ), U (t )] max H [ X * (t ), (t ), u (t )]
* * u (t )
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所以有的文献中也称为“极大值原理”。 （3）H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 （4）极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值，需进一步判断。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
（2）最优控制 u *使哈密顿函数H取极小值,极小值原理由此得名。 这一原理是苏联学者庞特里亚金等人首先提出，后加以证明。 在证明过程中： 与H的符号与这里所定义的相反。 H H
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③控制作用无界是控制作用有界时的一个特例。从上面的条 件可以看出当控制作用无界时，由控制方程确定的最优控制 实际上是使H极小或极大的驻点条件，取得的最优控制u*(t) 只能取得相对极小值或极大值。而控制作用有界时确定的最 优控制u*(t)保证了使H取得全局极小值。
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3.4 讨论
前面讨论的是 t 0和 x(t0 ) 已知， t f自由的最一般情况。 x(t f )受约束，
若 t f 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
0
tf
H 若采用经典变分法： 0 u
关于u不可微。
再如：
极小值原理是变分法的推广，可以克服前面的局限性。 若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理 与经典变分法，所得结论一致。
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极小值原理的几点说明 (1) 控制作用不等式约束与等式约束下最优控制的必要条 件比较 横截条件和端点边界条件相同
控制方程 不成立，代之以下条件：
协态方程发生了改变
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主要内容
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